(Valor 3.0 pts) Água pressurizada a temperatura de 93 C escoa com uma velocidade média de 1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} dentro de um tubo de 0.015 m de diâmetro e 0.3 m de comprimento. Se a temperatura da parede é de 204 C , determine o coeficiente médio de transferência de calor e o aumento de temperatura da água. Suponha que um engenheiro sugere que ar ao invés de água pode escoar no tubo e que a velocidade do ar deve ser aumentada até que o coeficiente de transferência de calor seja o mesmo que o obtido com água a 1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a velocidade requerida.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais e dá os seguintes dados:
  • Pedidos:
    1. Determinar o coeficiente médio de transferência de calor convectivo h para a água escoando no tubo.
    2. Determinar o aumento de temperatura da água ao atravessar o tubo (ou seja, \Delta T entre entrada e saída).
    3. Determinar a velocidade do ar necessária no mesmo tubo para que o coeficiente de transferência de calor h (com ar) seja igual ao obtido com a água em 1{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Dados fornecidos:
    \text{Temperatura da água (entrada): } T_b=93^\circ\mathrm{C}á
\text{Temperatura da parede: } T_w=204^\circ\mathrm{C}
\text{Velocidade média da água: } V_{\text{água}}=1{,}5\\ \mathrm{m/s}éáá
\text{Diâmetro do tubo: } D=0{,}015\\ \mathrm{m}â
\text{Comprimento do tubo: } L=0{,}3\\ \mathrm{m}
Observação importante: o enunciado não dá propriedades físicas (densidade, viscosidade, condutividade, cp) dos fluidos. Para aplicar as correlações de convecção interna precisamos dessas propriedades avaliadas numa temperatura característica. No Passo 2 eu explico como escolher essa temperatura e quais valores aproximados adoto (com justificativa) para prosseguir nos cálculos.

Passo 2

Escolha do método e das propriedades (explicação didática):
  • Estratégia geral: para escoamento interno turbulento em tubos, uma correlação prática e muito usada é a correlação de Dittus–Boelter:
    \mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{n}
    onde \mathrm{Nu} é o número de Nusselt, \mathrm{Re} é o número de Reynolds, \mathrm{Pr} é o número de Prandtl e n=0{,}4 quando o fluido está sendo aquecido (parede mais quente que o fluido), que é o caso aqui. Depois obtemos o coeficiente:
    h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}.
    Vou justificar passo a passo cada termo:
    • Número de Reynolds:
      \mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}
      Esse número indica se o escoamento é laminar ou turbulento. Para tubos, normalmente \mathrm{Re}<2300 é laminar, \mathrm{Re}>4000 é turbulento; entre esses é de transição.
    • Número de Prandtl:
      \mathrm{Pr}=\frac{c_p\mu}{k}
      ele relaciona difusividade de momento (viscosidade) com difusividade térmica.
    • Número de Nusselt \mathrm{Nu}=hD/k mede a razão entre convecção e condução térmica.
  • Temperatura para propriedades (regra prática):
    usamos a temperatura de filme (média entre temperatura da parede e do fluido médio) para avaliar propriedades:
    T_{\text{filme}}=\frac{T_b+T_w}{2}=\frac{93+204}{2}=148{,}5^\circ\mathrm{C}.
    Assim avaliaremos \rho,\mu,k,c_p nesse T_{\text{filme}}.
  • Valores aproximados adotados (tabelados) para água líquida a T_{\text{filme}}\approx148{,}5^\circ\mathrm{C} (valores aproximados, usados rotineiramente em exercícios):
    \rho_{\text{água}}=916\\ \mathrm{kg/m^3}á
\mu_{\text{água}}=1{,}39\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}á
k_{\text{água}}=0{,}68\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}á
c_{p,\text{água}}=4200\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}á
Esses valores são típicos de tabelas de propriedades de água líquida perto de 150^\circ\mathrm{C} (pressurizada para permanecer líquida). Para ar a T_{\text{filme}}\approx148{,}5^\circ\mathrm{C} (temperatura absoluta \approx423\\ \mathrm{K}) adotarei valores aproximados:
\rho_{\text{ar}}=0{,}849\\ \mathrm{kg/m^3}
\mu_{\text{ar}}=3{,}03\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}
k_{\text{ar}}=0{,}035\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
c_{p,\text{ar}}=1006\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
Esses valores são compatíveis com propriedades de ar a cerca de 423\\ \mathrm{K}. Usaremos essas aproximações para calcular \mathrm{Re},\mathrm{Pr},\mathrm{Nu},h.

Passo 3

Cálculo do número de Reynolds e do regime de escoamento para água (passo a passo):
  • Calcule \mathrm{Re} para a água com V_{\text{água}}=1{,}5\\ \mathrm{m/s}á:
    \mathrm{Re}=\frac{\rho_{\text{água}}V_{\text{água}}D}{\mu_{\text{água}}} =\frac{916\cdot1{,}5\cdot0{,}015}{1{,}39\times10^{-4}}.ááá
    Primeiro o numerador:
    916\cdot1{,}5\cdot0{,}015 = 916\cdot0{,}0225 = 20{,}61.
    Agora a divisão:
    \mathrm{Re}=\frac{20{,}61}{1{,}39\times10^{-4}} \approx 1{,}48\times10^{5}.
    Conclusão: \mathrm{Re}\approx1{,}48\times10^{5}, portanto o escoamento é totalmente turbulento (bem acima de 4000).
  • Calcule \mathrm{Pr} para a água:
    \mathrm{Pr}=\frac{c_{p,\text{água}}\mu_{\text{água}}}{k_{\text{água}}} =\frac{4200\cdot1{,}39\times10^{-4}}{0{,}68}.ááá
    Primeiro o produto:
    4200\cdot1{,}39\times10^{-4}=0{,}5838.
    Agora:
    \mathrm{Pr}=\frac{0{,}5838}{0{,}68}\approx0{,}858.

Passo 4

Aplicação da correlação de Dittus–Boelter para obter \mathrm{Nu} e h (água):
  • Usando \mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{0{,}4} (porque o fluido é aquecido pela parede, n=0{,}4): \mathrm{Re}^{0{,}8}=(1{,}48\times10^{5})^{0{,}8}\approx1{,}36\times10^{4}
\mathrm{Pr}^{0{,}4}=(0{,}858)^{0{,}4}\approx0{,}942.
Portanto
\mathrm{Nu}=0{,}023\cdot1{,}36\times10^{4}\cdot0{,}942\approx2{,}95\times10^{2}.
  • Agora h: h=\frac{\mathrm{Nu}\,k_{\text{água}}}{D} =\frac{2{,}945\times10^{2}\cdot0{,}68}{0{,}015}.áCalcule o numerador: 2{,}945\times10^{2}\cdot0{,}68 \approx 200{,}3.Dividindo por D: h\approx\frac{200{,}3}{0{,}015}\approx1{,}3354\times10^{4}\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.Arredondando razoavelmente, adotamos h_{\text{água}}\approx1,34\times10^{4}\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.á
Breve comentário intuitivo: esse valor grande vem do pequeno diâmetro (área de troca por volume grande) e da alta velocidade que torna o escoamento fortemente turbulento.

Passo 5

Cálculo do aumento de temperatura da água ( \Delta T) ao atravessar o tubo:
  • Primeiro a área superficial interna do tubo (área lateral) onde ocorre a troca:
    A_s=\pi D L=\pi\cdot0{,}015\cdot0{,}3=\pi\cdot0{,}0045\approx0{,}01414\\ \mathrm{m^2}.
  • Fluxo térmico total (potência) do fluido:
    \dot{Q}=h_{\text{água}}\,A_s\,(T_w-T_b).á
    Substituindo:
    T_w-T_b=204-93=111\\ \mathrm{K}.
\dot{Q}=1{,}3354\times10^{4}\cdot0{,}01414\cdot111.
Primeiro hA_s:
1{,}3354\times10^{4}\cdot0{,}01414\approx188{,}8\\ \mathrm{W/K}.
Agora \dot{Q}:
\dot{Q}\approx188{,}8\cdot111\approx2{,}0957\times10^{4}\\ \mathrm{W}\approx20{,}96\\ \mathrm{kW}.
  • Vazão mássica da água: A_{\text{cross}}=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi\cdot(0{,}015)^2}{4}=\pi\cdot1{,}767\times10^{-4}\approx1{,}767\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
\dot{V}=V_{\text{água}}A_{\text{cross}}=1{,}5\cdot1{,}767\times10^{-4}\approx2{,}65\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}.á
\dot{m}=\rho_{\text{água}}\dot{V}=916\cdot2{,}65\times10^{-4}\approx0{,}243\\ \mathrm{kg/s}.á
  • Aumento de temperatura: \Delta T=\frac{\dot{Q}}{\dot{m}c_{p,\text{água}}} =\frac{2{,}0957\times10^{4}}{0{,}243\cdot4200}.áCalcule o denominador: 0{,}243\cdot4200\approx1019{,}8.
\Delta T\approx\frac{20957}{1019{,}8}\approx20{,}55\\ ^\circ\mathrm{C}.
Portanto a água se aquece cerca de 20{,}6^\circ\mathrm{C} ao atravessar o trecho de 0{,}3\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Determinar a velocidade do ar necessária para obter o mesmo h (explicação e cálculo):
  • Queremos h_{\text{ar}}(V_{\text{ar}})=h_{\text{água}}=1{,}3354\times10^{4}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}á.
  • Para o ar usaremos novamente a correlação de Dittus–Boelter (pressupondo escoamento turbulento; veremos depois a validade). Assim
    \mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{0{,}4}, \qquad \mathrm{Re}=\frac{\rho_{\text{ar}}V_{\text{ar}}D}{\mu_{\text{ar}}}.
    E
    h_{\text{ar}}=\frac{\mathrm{Nu}\,k_{\text{ar}}}{D}.
  • É conveniente expressar h_{\text{ar}} em função de V_{\text{ar}}. Primeiro calcule constantes para o ar no nosso T_{\text{filme}}:
    C=\frac{\rho_{\text{ar}}D}{\mu_{\text{ar}}}=\frac{0{,}849\cdot0{,}015}{3{,}03\times10^{-5}} \approx420{,}26.
    Assim \mathrm{Re}=C\,V_{\text{ar}}, e
    \mathrm{Re}^{0{,}8}=(C\,V_{\text{ar}})^{0{,}8}=C^{0{,}8}V_{\text{ar}}^{0{,}8}.
    Calcule C^{0{,}8}:
    C^{0{,}8}\approx125{,}9.
    Calcule \mathrm{Pr}^{0{,}4} para o ar ( \mathrm{Pr}\approx0{,}871):
    \mathrm{Pr}^{0{,}4}\approx0{,}9463.
    Substituindo em Nu e em h:
    h_{\text{ar}}=0{,}023\cdot C^{0{,}8} \cdot \mathrm{Pr}^{0{,}4}\cdot V_{\text{ar}}^{0{,}8}\cdot\frac{k_{\text{ar}}}{D}.
    Avaliando as constantes:
    0{,}023\cdot C^{0{,}8}\cdot\mathrm{Pr}^{0{,}4}\approx0{,}023\cdot125{,}9\cdot0{,}9463\approx2{,}742.
\frac{k_{\text{ar}}}{D}=\frac{0{,}035}{0{,}015}\approx2{,}333.
Logo
h_{\text{ar}}\approx2{,}742\cdot2{,}333\cdot V_{\text{ar}}^{0{,}8}\approx6{,}397\\ V_{\text{ar}}^{0{,}8}.
  • Agora imponha h_{\text{ar}}=1{,}3354\times10^{4} e resolva para V_{\text{ar}}: 1{,}3354\times10^{4}=6{,}397\\ V_{\text{ar}}^{0{,}8}
V_{\text{ar}}^{0{,}8}=\frac{1{,}3354\times10^{4}}{6{,}397}\approx2{,}087\times10^{3}
V_{\text{ar}}=(2{,}087\times10^{3})^{1/0{,}8}=(2{,}087\times10^{3})^{1{,}25}.
Calcule numericamente:
V_{\text{ar}}\approx1{,}42\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação física e validade: esse valor é enorme (aproximadamente 14{,}200\\ \mathrm{m/s}, muito maior que a velocidade do som na atmosfera). Portanto:
    • O número de Reynolds resultante e a velocidade estão fora do intervalo onde a correlação de Dittus–Boelter (baseada em escoamento incompressível e turbulento) é válida.
    • Em termos práticos, é impossível, com ar à pressão ambiente e temperatura citada, alcançar tal h apenas aumentando a velocidade: a condutividade térmica do ar é muito baixa comparada à da água (fator ~20), logo seria necessário um aumento de velocidade absurdo para compensar.
    • Conclusão prática: a sugestão do engenheiro (substituir água por ar e aumentar velocidade) é irrealizável — o ar simplesmente não consegue fornecer o mesmo coeficiente de convecção em velocidades fisicamente plausíveis.

Resposta

h\approx1{,}34\times10^{4}\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}
\Delta T\approx20{,}6\\ ^\circ\mathrm{C}
V_{\text{ar}}\approx1{,}42\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}

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