(Valor 3.5 pts ) Deseja-se aquecer um vazão mássica \dot{m} de 4 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de ar atmosférico de T_{i}=14 C para \mathrm{T}_{0}=30 \mathrm{C} escoando sobre um banco de tubos de bronze (\mathrm{k}=104 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \mathrm{K})) no interior do qual escoa vapor condensante a \mathrm{T}_{\mathrm{s}}=100 \mathrm{C}. O coeficiente de transferência de calor por convecção forçada no interior dos tubos é 5.7 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right). Os tubos têm dois pés de comprimento ( 1 pé =0.3 m ), diâmetro interno de 1 / 2 \mathrm{pol}(1 \mathrm{pol}=2.54 \mathrm{~cm}) e espessura de parede de 0.125 cm . A temperatura da superficie externa dos tubos é \mathrm{T}_{\mathrm{so}}=94 \mathrm{C}. Os tubos ficarão em um arranjo alinhado com \mathrm{S}_{\mathrm{T}}= \mathrm{S}_{\mathrm{L}}=0.75 pol. A dimensão vertical disponivel para o banco de tubos é de 15 pol. A dimensão horizontal pode ser variada para atingir a transferência de calor necessária.
a) Obtenha o número de linhas de tubos \mathrm{N}_{\mathrm{T}} necessárias
b) Obtenha as resistências de condução R_{2} e de convecção interna R_{1}.
c) Determine o coeficiente de transferência de calor por convecção forçada no exterior dos tubos. Dica: Utilize a correlação de Grimison ou Zhukauskas. Adote um número inicial de colunas de tubos \mathrm{N}_{\mathrm{L}}.
d) Determine a resistência térmica R_{3} de convecção forçada no exterior dos tubos.
e) Esboce o circuito térmico correspondente as resistências calculadas.
f) Obtenha uma nova estimativa de N_{L} utilizando a fórmula:
N_{T} N_{L} \frac{T_{s}-\bar{T}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}=\dot{m} \bar{c}_{p}\left(T_{o}-T_{i}\right)
\overline{c_{p}} é o calor especifico médio do ar calculado na temperatura media do ar \bar{T}
g) Qual o significado físico da equação escrita no item anterior?

Passo 1

Vou identificar com calma o que o enunciado dá e o que pede, listando todos os dados relevantes e as perguntas.
Dados do enunciado:
\begin{aligned} &\dot{m}=4\\ \mathrm{kg/s}\\\ &T_{i}=14\\ ^\circ\mathrm{C}\\\ &T_{o}=30\\ ^\circ\mathrm{C}\\\ &T_{s}=100\\ ^\circ\mathrm{C}\\ (\text{temperatura do vapor condensante})\\\ &T_{so}=94\\ ^\circ\mathrm{C}\\ (\text{temperatura da superfície externa dos tubos, fornecida})\\\ &k_{\text{bronze}}=104\\ \mathrm{W/(m\;K)}\\\ &h_{\text{interno}}=5{,}7\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}\\\ &\text{comprimento dos tubos}=2\\ \text{pés},\quad 1\\ \text{pé}=0{,}3\\ \mathrm{m}\\\ &D_i= \tfrac{1}{2}\\ \text{pol} = 0{,}5\\ \text{in} = 0{,}5\cdot2{,}54\\ \mathrm{cm}=1{,}27\\ \mathrm{cm}=0{,}0127\\ \mathrm{m}\\\ &\text{espessura da parede}=0{,}125\\ \mathrm{cm}=0{,}00125\\ \mathrm{m}\\\ &S_T=S_L=0{,}75\\ \text{pol}=0{,}75\cdot2{,}54\\ \mathrm{cm}=1{,}905\\ \mathrm{cm}=0{,}01905\\ \mathrm{m}\\\ &\text{altura disponível (vertical)}=15\\ \text{pol}=15\cdot2{,}54\\ \mathrm{cm}=38{,}1\\ \mathrm{cm}=0{,}381\\ \mathrm{m}\\\ \end{aligned}íééí
O que o enunciado pede (resumindo em perguntas):
(a) Obter o número de linhas de tubos N_T necessárias (linhas na direção vertical).
(b) Obter as resistências de condução R_2 (através da parede) e de convecção interna R_1.
(c) Determinar o coeficiente convectivo externo h_o (usar correlação de Zhukauskas / Grimison). Adotar um número inicial de colunas N_L (colunas na direção do fluxo).
(d) Determinar a resistência térmica externa R_3 (convecção sobre os tubos).
(e) Esboçar o circuito térmico correspondente às resistências calculadas.
(f) Obter uma nova estimativa de N_L usando a fórmula indicada (que relaciona o somatório das resistências com a necessidade térmica).
(g) Explicar o significado físico da equação do item (f).
Observações: a solução será feita por passos: conversões, cálculo de N_T, cálculo de R_1 e R_2, estimativa inicial de N_L e iterações para encontrar h_o, R_3 e o N_L final, com explicações das fórmulas usadas.

Passo 2

Conversões geométricas e cálculo de N_T.
Comprimento dos tubos:
L = 2\\ \text{pés}=2\cdot0{,}3\\ \mathrm{m}=0{,}6\\ \mathrm{m}.é
Diâmetros interno e externo:
\begin{aligned} &D_i = 0{,}0127\\ \mathrm{m},\\\ &t = 0{,}00125\\ \mathrm{m},\\\ &D_o = D_i + 2t = 0{,}0127 + 2(0{,}00125)=0{,}0152\\ \mathrm{m}. \end{aligned}
Passo para determinar N_T (número de linhas verticais):
  • O espaçamento entre centros vertical é S_T=0{,}01905\\ \mathrm{m}.
  • Com altura disponível H=0{,}381\\ \mathrm{m} o número de linhas que cabem (adotando o procedimento simples de divisão) é
N_T=\left\lfloor\frac{H}{S_T}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{0{,}381}{0{,}01905}\right\rfloor=\left\lfloor 20\right\rfloor=20.
Logo N_T=20 linhas verticais (é a contagem inteira de centros que cabem na altura dada).

Passo 3

Cálculo das resistências internas R_1 (convecção interna) e da condução através da parede R_2 — com explicação das fórmulas.
Explicação rápida das fórmulas:
  • Resistência por convecção na superfície interna (por unidade de tubo):
R_1=\frac{1}{h_i A_i},
onde h_i é o coeficiente convectivo interno e A_i a área interna do tubo em contato com o fluido interno. Para um tubo cilíndrico A_i=\pi D_i L.
  • Resistência de condução radial por parede cilíndrica:
R_2=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}{2\pi k L}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{D_o}{D_i}\right)}{2\pi k L},
onde k é a condutividade térmica do material da parede (bronze) e L o comprimento do tubo.
Cálculos numéricos:
Área interna do tubo:
A_i=\pi D_i L=\pi(0{,}0127)(0{,}6)=\pi(0{,}00762)=0{,}02393\\ \mathrm{m^2}.
Resistência de convecção interna:
R_1=\frac{1}{h_i A_i}=\frac{1}{5{,}7\cdot0{,}02393}=7{,}330\\ \mathrm{K/W}.
(Explicação: como h_i é pequeno e a área interna é pequena, a resistência convectiva interna domina nessa direção.)
Resistência de condução através da parede:
\begin{aligned} \ln\!\left(\frac{D_o}{D_i}\right)&=\ln\!\left(\frac{0{,}0152}{0{,}0127}\right)=\ln(1{,}19685)=0{,}17978,\\\ R_2&=\frac{0{,}17978}{2\pi(104)(0{,}6)}=\frac{0{,}17978}{392{,}699}=0{,}000458\\ \mathrm{K/W}. \end{aligned}
(Verificação: R_2 é muito pequena porque o bronze tem alta condutividade e a espessura é pequena — logo a queda de temperatura na parede é desprezível comparada à convecção interna.)
Resumo deste passo:
R_1=7{,}330\\ \mathrm{K/W},\qquad R_2=0{,}000458\\ \mathrm{K/W}.

Passo 4

Determinação do coeficiente convectivo externo h_o usando a correlação de Zhukauskas (correlação típica para cruzamento de escoamento sobre arranjos de tubos). Vou explicar a correlação e calcular passo a passo. Adoto inicialmente um chute para o número de colunas N_L e depois iteramos.
Explicação da correlação (forma utilizada):
  • A correlação de Zhukauskas (forma prática) dá a número de Nusselt característico para um tubo em arranjo de tubo em escoamento cruzado:
\mathrm{Nu}_D = C\,\mathrm{Re}_D^{\,m}\,\mathrm{Pr}^{\,0{,}36},
onde \mathrm{Nu}_D=h_o D_o/k_{\text{ar}}, \mathrm{Re}_D=\rho U D_o/\mu e C,m são constantes que dependem da faixa de \mathrm{Re} e da disposição (para tubos alinhados, para 10^3<\mathrm{Re}<2\times10^5 tipicamente C=0{,}27,\\ m=0{,}63). Vou usar essa faixa porque a velocidade final deverá produzir \mathrm{Re} na faixa acima. A dependência em \mathrm{Pr} é tomada como \mathrm{Pr}^{0{,}36}. Para ar a temperatura média adotamos \mathrm{Pr}\approx0{,}71 (calculado abaixo).
Propriedades do ar na temperatura média do ar:
  • temperatura média do ar (primeira aproximação, média aritmética):
\bar{T}=\frac{T_i+T_o}{2}=\frac{14+30}{2}=22\\ ^\circ\mathrm{C}.
Valores típicos do ar a 22\\ ^\circ\mathrm{C} usados na conta (valores tabulados aproximados):
\begin{aligned} &\rho=1{,}205\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &\mu=1{,}85\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\\\ &k_{\text{ar}}=0{,}026\\ \mathrm{W/(m\;K)},\\\ &c_p=1005\\ \mathrm{J/(kg\;K)}. \end{aligned}
Prandtl:
\mathrm{Pr}=\frac{c_p\mu}{k_{\text{ar}}}=\frac{1005\cdot1{,}85\times10^{-5}}{0{,}026}\approx0{,}715\approx0{,}72.
Escolha inicial de N_L:
  • Tomo um chute razoável inicial para iniciar a iteração. Vou começar com N_L^{(0)}=40 colunas (este número é só um palpite inicial; em seguida itero para convergir).
Cálculo da velocidade média do ar entre as colunas (fluxo perpendicular às colunas):
  • A largura do banco na direção do fluxo (projeção horizontal) é aproximadamente
W=N_L S_L,
onde S_L=0{,}01905\\ \mathrm{m}.
  • A área de fluxo frontal aproximada que o ar atravessa é
A_{\text{flow}}=H\cdot W = H\\ N_L S_L,
com H=0{,}381\\ \mathrm{m}.
Com N_L^{(0)}=40:
\begin{aligned} W &=40\cdot0{,}01905=0{,}762\\ \mathrm{m},\\\ A_{\text{flow}}&=0{,}381\cdot0{,}762=0{,}2905\\ \mathrm{m^2}. \end{aligned}
Velocidade média:
U=\frac{\dot{m}}{\rho A_{\text{flow}}}=\frac{4}{1{,}205\cdot0{,}2905}=11{,}43\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds baseado em D_o:
\mathrm{Re}_D=\frac{\rho U D_o}{\mu}=\frac{1{,}205\cdot11{,}43\cdot0{,}0152}{1{,}85\times10^{-5}}\approx1{,}13\times10^{4}.
Este \mathrm{Re}_D está na faixa 10^{3} 2\times10^{5}, então uso C=0{,}27 e m=0{,}63.
Cálculo de \mathrm{Nu}_D:
\mathrm{Nu}_D = 0{,}27\cdot(1{,}13\times10^{4})^{0{,}63}\cdot(0{,}715)^{0{,}36}\approx86{,}7.
Logo o coeficiente convectivo externo inicialmente estimado:
h_o=\frac{\mathrm{Nu}_D k_{\text{ar}}}{D_o}=\frac{86{,}7\cdot0{,}026}{0{,}0152}\approx148{,}4\\ \mathrm{W/(m^2\;K)}.
Comentário: esse h_o é uma primeira estimativa correspondente à primeira hipótese de N_L=40. Como o número de colunas afeta a velocidade (e então \mathrm{Re} e h_o), vamos iterar para convergir (faremos isso nos próximos passos).

Passo 5

Cálculo da resistência externa R_3 (usando o h_o atual) e expressão da resistência total por tubo; depois iremos iterar para ajustar N_L.
Área externa por tubo (área em contato com o ar):
A_o=\pi D_o L=\pi(0{,}0152)(0{,}6)=0{,}02866\\ \mathrm{m^2}.
Com a estimativa inicial de h_o=148{,}4\\ \mathrm{W/(m^2K)}:
R_3^{(0)}=\frac{1}{h_o A_o}=\frac{1}{148{,}4\cdot0{,}02866}=0{,}235\\ \mathrm{K/W}.
Resistência total por tubo (soma em série: convecção interna → condução parede → convecção externa):
R_{\text{tot}}^{(0)}=R_1+R_2+R_3^{(0)}=7{,}330+0{,}000458+0{,}235\approx7{,}565\\ \mathrm{K/W}.
Observação: com esse R_{\text{tot}}^{(0)} podemos estimar quantos tubos são necessários para fornecer a potência térmica requerida; isso vai permitir atualizar N_L.

Passo 6

Iteração para obter N_L consistente com o balanço de energia. Vou usar a equação dada no enunciado:
N_T N_L \frac{T_s-\bar{T}}{R_1+R_2+R_3}=\dot{m}\,\bar{c}_p\left(T_o-T_i\right).
Isolando N_L:
N_L=\frac{\dot{m}\,\bar{c}_p\,(T_o-T_i)\,(R_1+R_2+R_3)}{N_T\,(T_s-\bar{T})}.
Uso \bar{T}=22\\ ^\circ\mathrm{C} e \bar{c}_p=1005\\ \mathrm{J/(kg\;K)}. Já temos R_1,R_2 e uma primeira R_3^{(0)}. Calculo N_L^{(1)} e depois revalo com correlação para atualizar h_o, R_3, etc., até convergir.
Cálculo da potência necessária (lado do ar):
\dot{Q}=\dot{m}\,\bar{c}_p\,(T_o-T_i)=4\cdot1005\cdot(30-14)=4\cdot1005\cdot16=64{,}320\\ \mathrm{W}.
Com R_{\text{tot}}^{(0)}=7{,}565\\ \mathrm{K/W}:
N_L^{(1)}=\frac{64{,}320\cdot7{,}565}{20\cdot(100-22)}=\frac{486{,}745}{1560}\approx312{,}2\\ \Rightarrow 312\\ \text{colunas (arred.)}.
Agora atualizo a velocidade e recalc as propriedades com N_L^{(1)}=312:
\begin{aligned} &W=312\cdot0{,}01905=5{,}9456\\ \mathrm{m},\\\ &A_{\text{flow}}=H\cdot W=0{,}381\cdot5{,}9456=2{,}265\\ \mathrm{m^2},\\\ &U=\frac{4}{1{,}205\cdot2{,}265}=1{,}466\\ \mathrm{m/s},\\\ &\mathrm{Re}_D=\frac{1{,}205\cdot1{,}466\cdot0{,}0152}{1{,}85\times10^{-5}}\approx1{,}45\times10^{3}. \end{aligned}
Como \mathrm{Re}_D ainda está na faixa 10^3 2\times10^5, continuo com C=0{,}27,m=0{,}63.
Novo \mathrm{Nu}_D e h_o:
\mathrm{Nu}_D=0{,}27\cdot(1{,}45\times10^{3})^{0{,}63}\cdot(0{,}715)^{0{,}36}\approx23{,}62,
h_o=\frac{\mathrm{Nu}_D k_{\text{ar}}}{D_o}=\frac{23{,}62\cdot0{,}026}{0{,}0152}\approx40{,}4\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Com isso:
R_3^{(1)}=\frac{1}{h_o A_o}=\frac{1}{40{,}4\cdot0{,}02866}=0{,}863\\ \mathrm{K/W}.
Agora a resistência total:
R_{\text{tot}}^{(1)}=7{,}330+0{,}000458+0{,}863=8{,}194\\ \mathrm{K/W}.
Recalculo N_L:
N_L^{(2)}=\frac{64{,}320\cdot8{,}194}{20\cdot78}=\frac{527{,}140}{1560}\approx337{,}8.
Faço mais uma iteração com N_L=338:
\begin{aligned} &W=338\cdot0{,}01905=6{,}439\\ \mathrm{m},\\\ &A_{\text{flow}}=0{,}381\cdot6{,}439=2{,}453\\ \mathrm{m^2},\\\ &U=\frac{4}{1{,}205\cdot2{,}453}=1{,}352\\ \mathrm{m/s},\\\ &\mathrm{Re}_D\approx1{,}34\times10^{3}. \end{aligned}
\mathrm{Nu}_D\approx22{,}36,\qquad h_o=\frac{22{,}36\cdot0{,}026}{0{,}0152}\approx38{,}3\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
R_3=\frac{1}{38{,}3\cdot0{,}02866}=0{,}912\\ \mathrm{K/W}.
R_{\text{tot}}=7{,}330+0{,}000458+0{,}912=8{,}243\\ \mathrm{K/W}.
N_L^{(3)}=\frac{64{,}320\cdot8{,}243}{20\cdot78}\approx339{,}0.
A alteração entre iterações é pequena (de 338 para 339), então consideramos convergência numérica. Tomamos o valor inteiro arredondado:
N_L\approx339\\ \text{colunas}.
Resumo dos valores finais obtidos pela iteração:
\begin{aligned} &\mathrm{Re}_D\approx1{,}34\times10^{3},\\\ &\mathrm{Nu}_D\approx22{,}36,\\\ &h_o\approx38{,}3\\ \mathrm{W/(m^2K)},\\\ &R_3\approx0{,}912\\ \mathrm{K/W},\\\ &R_{\text{tot}}\approx8{,}243\\ \mathrm{K/W},\\\ &N_L\approx339. \end{aligned}

Passo 7

Esboço do circuito térmico (descrição) e interpretação física da equação.
Esboço do circuito térmico (por descrição):
  • O caminho de calor por tubo é série de três resistências:
    1. Do vapor condensante (temperatura \,T_s) até a superfície interna do tubo: resistência de convecção interna R_1.
    2. Atravessando a parede do tubo (radial): resistência de condução R_2.
    3. Da superfície externa do tubo até o ar ambiente que atravessa o banco: resistência de convecção externa R_3.
  • Em esquema linear: T_s —[ R_1 ]— T_{wi} —[ R_2 ]— T_{wo} —[ R_3 ]— T_{\text{ar}}.
  • Como existem N_T linhas e N_L colunas, o número total de tubos é N_T N_L e cada tubo participa com o mesmo caminho em série; a soma total de fluxo é a soma das contribuições de cada tubo (assumindo uniformidade).
Significado físico da equação do item (f):
  • A equação
N_T N_L \frac{T_s-\bar{T}}{R_1+R_2+R_3}=\dot{m}\,\bar{c}_p\left(T_o-T_i\right)
é simplesmente um balanço de potência: o lado esquerdo é a potência total que o banco de tubos é capaz de transferir ao ar (diferença térmica entre a superfície das paredes/fluido interno T_s e a temperatura média do ar \bar{T}, dividida pela resistência térmica por tubo e multiplicada pelo número de tubos); o lado direito é a potência térmica requerida para elevar a temperatura do ar de T_i para T_o. A igualdade garante que o banco (com N_TN_L tubos) entregue exatamente a energia necessária ao ar.

Passo 8

Breves comentários finais, motivação e checagens rápidas (pra te animar):
  • Quantidade final de tubos: N_T\cdot N_L=20\cdot339=6{,}780 tubos. Cada tubo transfere cerca de 64{,}320/6780\approx9{,}5\\ \mathrm{W}, o que é consistente com o R_{\text{tot}} calculado.
  • As resistências mostram que a maior queda térmica está na convecção interna (devido ao pequeno h_i e pequena área interna); a condução na parede é quase desprezível.
  • Se você quiser reduzir o número de colunas N_L, há três caminhos práticos: aumentar a altura disponível (aumenta A_{\text{flow}} e diminui U), aumentar a velocidade preferencial (mas isso aumenta perdas de carga), ou aumentar o coeficiente externo h_o (por exemplo, usando aletas ou tubos mais espaçados para melhorar o escoamento). Mas já temos o resultado consistente com os dados pedidos.

Resposta

(a) N_T=20.
(b) R_1=\dfrac{1}{h_i\pi D_i L}=7{,}330\\ \mathrm{K/W}\
\quad R_2=\dfrac{\ln(D_o/D_i)}{2\pi k L}=0{,}000458\\ \mathrm{K/W}.
(c) Utilizando a correlação de Zhukauskas e iterando com N_L: h_o\approx38{,}3\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
(d) R_3=\dfrac{1}{h_o\pi D_o L}\approx0{,}912\\ \mathrm{K/W}.
(e) Circuito térmico (por tubo): T_s — [ R_1 (convecção interna)] — [ R_2 (condução parede)] — [ R_3 (convecção externa)] — T_{\text{ar}}. Total de tubos: N_T\cdot N_L.
(f) Estimativa final obtida por iteração: N_L\approx339 (colunas).
(g) A equação do item (f) é um balanço de potência: potência máxima que o banco transfere (lado esquerdo: número de tubos × salto térmico efetivo dividido pela resistência térmica por tubo) deve igualar a potência requerida para aquecer a vazão de ar (lado direito: \dot{m}\,\bar{c}_p(T_o-T_i)).

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