(Valor 3.5 pts ) Deseja-se aquecer um vazão mássica \dot{m} de 4 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de ar atmosférico de T_{i}=14 C para \mathrm{T}_{0}=30 \mathrm{C} escoando sobre um banco de tubos de bronze (\mathrm{k}=104 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \mathrm{K})) no interior do qual escoa vapor condensante a \mathrm{T}_{\mathrm{s}}=100 \mathrm{C}. O coeficiente de transferência de calor por convecção forçada no interior dos tubos é 5.7 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right). Os tubos têm dois pés de comprimento ( 1 pé =0.3 m ), diâmetro interno de 1 / 2 \mathrm{pol}(1 \mathrm{pol}=2.54 \mathrm{~cm}) e espessura de parede de 0.125 cm . A temperatura da superficie externa dos tubos é \mathrm{T}_{\mathrm{so}}=94 \mathrm{C}. Os tubos ficarão em um arranjo alinhado com \mathrm{S}_{\mathrm{T}}= \mathrm{S}_{\mathrm{L}}=0.75 pol. A dimensão vertical disponivel para o banco de tubos é de 15 pol. A dimensão horizontal pode ser variada para atingir a transferência de calor necessária.
a) Obtenha o número de linhas de tubos \mathrm{N}_{\mathrm{T}} necessárias
b) Obtenha as resistências de condução R_{2} e de convecção interna R_{1}.
c) Determine o coeficiente de transferência de calor por convecção forçada no exterior dos tubos. Dica: Utilize a correlação de Grimison ou Zhukauskas. Adote um número inicial de colunas de tubos \mathrm{N}_{\mathrm{L}}.
d) Determine a resistência térmica R_{3} de convecção forçada no exterior dos tubos.
e) Esboce o circuito térmico correspondente as resistências calculadas.
f) Obtenha uma nova estimativa de N_{L} utilizando a fórmula:
\overline{c_{p}} é o calor especifico médio do ar calculado na temperatura media do ar \bar{T}
g) Qual o significado físico da equação escrita no item anterior?
Passo 1
Vou identificar com calma o que o enunciado dá e o que pede, listando todos os dados relevantes e as perguntas.
O que o enunciado pede (resumindo em perguntas):
(a) Obter o número de linhas de tubos N_T necessárias (linhas na direção vertical).
(b) Obter as resistências de condução R_2 (através da parede) e de convecção interna R_1.
(c) Determinar o coeficiente convectivo externo h_o (usar correlação de Zhukauskas / Grimison). Adotar um número inicial de colunas N_L (colunas na direção do fluxo).
(d) Determinar a resistência térmica externa R_3 (convecção sobre os tubos).
(e) Esboçar o circuito térmico correspondente às resistências calculadas.
(f) Obter uma nova estimativa de N_L usando a fórmula indicada (que relaciona o somatório das resistências com a necessidade térmica).
(g) Explicar o significado físico da equação do item (f).
Observações: a solução será feita por passos: conversões, cálculo de N_T, cálculo de R_1 e R_2, estimativa inicial de N_L e iterações para encontrar h_o, R_3 e o N_L final, com explicações das fórmulas usadas.
Passo 2
Conversões geométricas e cálculo de N_T.
Comprimento dos tubos:
L = 2\\ \text{pés}=2\cdot0{,}3\\ \mathrm{m}=0{,}6\\ \mathrm{m}.é
(Verificação: R_2 é muito pequena porque o bronze tem alta condutividade e a espessura é pequena — logo a queda de temperatura na parede é desprezível comparada à convecção interna.)
Determinação do coeficiente convectivo externo h_o usando a correlação de Zhukauskas (correlação típica para cruzamento de escoamento sobre arranjos de tubos). Vou explicar a correlação e calcular passo a passo. Adoto inicialmente um chute para o número de colunas N_L e depois iteramos.
Explicação da correlação (forma utilizada):
A correlação de Zhukauskas (forma prática) dá a número de Nusselt característico para um tubo em arranjo de tubo em escoamento cruzado:
onde \mathrm{Nu}_D=h_o D_o/k_{\text{ar}}, \mathrm{Re}_D=\rho U D_o/\mu e C,m são constantes que dependem da faixa de \mathrm{Re} e da disposição (para tubos alinhados, para 10^3<\mathrm{Re}<2\times10^5 tipicamente C=0{,}27,\\ m=0{,}63). Vou usar essa faixa porque a velocidade final deverá produzir \mathrm{Re} na faixa acima. A dependência em \mathrm{Pr} é tomada como \mathrm{Pr}^{0{,}36}. Para ar a temperatura média adotamos \mathrm{Pr}\approx0{,}71 (calculado abaixo).
Propriedades do ar na temperatura média do ar:
temperatura média do ar (primeira aproximação, média aritmética):
Tomo um chute razoável inicial para iniciar a iteração. Vou começar com N_L^{(0)}=40 colunas (este número é só um palpite inicial; em seguida itero para convergir).
Cálculo da velocidade média do ar entre as colunas (fluxo perpendicular às colunas):
A largura do banco na direção do fluxo (projeção horizontal) é aproximadamente
W=N_L S_L,
onde S_L=0{,}01905\\ \mathrm{m}.
A área de fluxo frontal aproximada que o ar atravessa é
A_{\text{flow}}=H\cdot W = H\\ N_L S_L,
com H=0{,}381\\ \mathrm{m}.
Com N_L^{(0)}=40:
\begin{aligned} W &=40\cdot0{,}01905=0{,}762\\ \mathrm{m},\\\ A_{\text{flow}}&=0{,}381\cdot0{,}762=0{,}2905\\ \mathrm{m^2}. \end{aligned}
Comentário: esse h_o é uma primeira estimativa correspondente à primeira hipótese de N_L=40. Como o número de colunas afeta a velocidade (e então \mathrm{Re} e h_o), vamos iterar para convergir (faremos isso nos próximos passos).
Passo 5
Cálculo da resistência externa R_3 (usando o h_o atual) e expressão da resistência total por tubo; depois iremos iterar para ajustar N_L.
Observação: com esse R_{\text{tot}}^{(0)} podemos estimar quantos tubos são necessários para fornecer a potência térmica requerida; isso vai permitir atualizar N_L.
Passo 6
Iteração para obter N_L consistente com o balanço de energia. Vou usar a equação dada no enunciado:
Uso \bar{T}=22\\ ^\circ\mathrm{C} e \bar{c}_p=1005\\ \mathrm{J/(kg\;K)}. Já temos R_1,R_2 e uma primeira R_3^{(0)}. Calculo N_L^{(1)} e depois revalo com correlação para atualizar h_o, R_3, etc., até convergir.
Como existem N_T linhas e N_L colunas, o número total de tubos é N_T N_L e cada tubo participa com o mesmo caminho em série; a soma total de fluxo é a soma das contribuições de cada tubo (assumindo uniformidade).
é simplesmente um balanço de potência: o lado esquerdo é a potência total que o banco de tubos é capaz de transferir ao ar (diferença térmica entre a superfície das paredes/fluido interno T_s e a temperatura média do ar \bar{T}, dividida pela resistência térmica por tubo e multiplicada pelo número de tubos); o lado direito é a potência térmica requerida para elevar a temperatura do ar de T_i para T_o. A igualdade garante que o banco (com N_TN_L tubos) entregue exatamente a energia necessária ao ar.
Passo 8
Breves comentários finais, motivação e checagens rápidas (pra te animar):
Quantidade final de tubos: N_T\cdot N_L=20\cdot339=6{,}780 tubos. Cada tubo transfere cerca de 64{,}320/6780\approx9{,}5\\ \mathrm{W}, o que é consistente com o R_{\text{tot}} calculado.
As resistências mostram que a maior queda térmica está na convecção interna (devido ao pequeno h_i e pequena área interna); a condução na parede é quase desprezível.
Se você quiser reduzir o número de colunas N_L, há três caminhos práticos: aumentar a altura disponível (aumenta A_{\text{flow}} e diminui U), aumentar a velocidade preferencial (mas isso aumenta perdas de carga), ou aumentar o coeficiente externo h_o (por exemplo, usando aletas ou tubos mais espaçados para melhorar o escoamento). Mas já temos o resultado consistente com os dados pedidos.
Resposta
(a) N_T=20.
(b) R_1=\dfrac{1}{h_i\pi D_i L}=7{,}330\\ \mathrm{K/W}\
\quad R_2=\dfrac{\ln(D_o/D_i)}{2\pi k L}=0{,}000458\\ \mathrm{K/W}.
(c) Utilizando a correlação de Zhukauskas e iterando com N_L: h_o\approx38{,}3\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
(f) Estimativa final obtida por iteração: N_L\approx339 (colunas).
(g) A equação do item (f) é um balanço de potência: potência máxima que o banco transfere (lado esquerdo: número de tubos × salto térmico efetivo dividido pela resistência térmica por tubo) deve igualar a potência requerida para aquecer a vazão de ar (lado direito: \dot{m}\,\bar{c}_p(T_o-T_i)).