7 - (Valor 1,0 ) O rotor é um brinquedo encontrado em alguns parques de diversões. É formado por um cilindro de eixo vertical e raio R. Supondo que uma pessoa entre no cilindro e fique de pé, encostada na parede. O cilindro começa a girar aumentando sua velocidade angular até determinado valor, quando o chão se abre. A pessoa não cai, mas gira grudada na parede. A massa da pessoa é 60 kg , a aceleração local da gravidade é 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e o raio do cilindro é 2,0 \mathrm{~m}. Sabendo que o coeficiente de atrito entre a roupa da pessoa e a parede é \mu_{c}=0,40, determine o valor mínimo da velocidade angular para que ela não caia.
SEPARADOR task_1
(a) 2,45 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
b) 3,54 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
c) 4,25 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
d) 5,00 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
e) 6,35 \mathrm{rad} / \mathrm{s}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • massa da pessoa: m=60\\ \mathrm{kg}.
    • aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • raio do cilindro: R=2{,}0\\ \mathrm{m}.
    • coeficiente de atrito (roupa/parede): \mu_{c}=0{,}40.
  • O que o enunciado pede:
    • determinar o valor mínimo da velocidade angular \omega para que a pessoa não caia quando o chão se abre.
  • Observação: há uma figura que mostra a pessoa encostada na parede do cilindro girante (forças normal e de atrito indicadas).

Passo 2

Identificar e desenhar (mentalmente) as forças atuando na pessoa e explicar cada uma.
  • Força peso: é a força vertical para baixo, de módulo mg.
    • Aqui m é a massa da pessoa e g é a aceleração da gravidade.
  • Força normal N: é a força horizontal que a parede exerce sobre a pessoa, direcionada da parede para o centro do cilindro. Essa força é responsável por fornecer a força centrípeta necessária para a pessoa fazer o movimento circular com a parede.
  • Força de atrito f: é a força tangencial entre a roupa e a parede; atua na direção vertical (para cima, no caso em que impede a queda). Essa força é limitada pelo atrito máximo estático f_{\max}.
Explicação física importante (sem pular etapas):
  • Para a pessoa girar junto com o cilindro descrevendo um movimento circular de raio R com velocidade angular \omega, a aceleração centrípeta tem módulo
a_{c}=\omega^{2}R.
  • A única força horizontal que fornece essa aceleração é a normal N. Pelo 2.º lei de Newton na direção radial (horizontal),
N=m a_{c}=m\omega^{2}R.
  • Para a pessoa não cair, a componente vertical das forças deve se anular. Como a única força vertical para cima é a força de atrito f, no caso limite (mínima \omega) temos
f = mg.

Passo 3

Relacionar a força de atrito com a normal usando a lei do atrito estático máximo.
  • O atrito estático máximo vale
f_{\max}=\mu_{c}N,
onde \mu_{c} é o coeficiente de atrito estático (aqui dado como \mu_{c}=0{,}40) e N é a força normal.
  • No caso limite de desprendimento, o atrito disponível é exatamente o máximo, portanto para não cair devemos ter
f_{\max}\ge mg.
No limite mínimo de rotação para não cair tomamos a igualdade
\mu_{c}N = mg.

Passo 4

Substituir N (expressão obtida pelo balanço radial) na igualdade do atrito.
  • Já demonstramos que
N=m\omega^{2}R.
  • Substituindo na condição de atrito:
\mu_{c}\,m\omega^{2}R = mg.
  • Podemos simplificar dividindo ambos os lados por m (a massa não zera):
\mu_{c}\,\omega^{2}R = g.
  • Isolando \omega^{2}:
\omega^{2}=\frac{g}{\mu_{c}R}.
  • Logo
\omega=\sqrt{\frac{g}{\mu_{c}R}}.

Passo 5

Calcular numericamente substituindo os valores dados.
  • Substituindo g=10, \mu_{c}=0{,}40 e R=2{,}0:
\omega=\sqrt{\frac{10}{0{,}40\cdot 2{,}0}}.
  • Primeiro calcular o denominador:
\mu_{c}R = 0{,}40\times 2{,}0 = 0{,}80.
  • Então
\frac{g}{\mu_{c}R}=\frac{10}{0{,}80}=12{,}5.
  • Finalmente
\omega=\sqrt{12{,}5}.
  • Uma forma exata/rápida: 12{,}5=\dfrac{25}{2}, então \sqrt{12{,}5}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}. Numericamente,
\omega\approx 3{,}5355339\\ \mathrm{rad/s}\approx 3{,}54\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Interpretação final e checagem com as alternativas.
  • O valor mínimo calculado para a velocidade angular é \omega\approx 3{,}54\\ \mathrm{rad/s}.
  • Comparando com as alternativas fornecidas, corresponde à alternativa (b).

Resposta

b) \,3{,}54\\ \mathrm{rad/s}

Exercícios relacionados