7 - (Valor 1,0 ) O rotor é um brinquedo encontrado em alguns parques de diversões. É formado por um cilindro de eixo vertical e raio
. Supondo que uma pessoa entre no cilindro e fique de pé, encostada na parede. O cilindro começa a girar aumentando sua velocidade angular até determinado valor, quando o chão se abre. A pessoa não cai, mas gira grudada na parede. A massa da pessoa é 60 kg , a aceleração local da gravidade é
e o raio do cilindro é
. Sabendo que o coeficiente de atrito entre a roupa da pessoa e a parede é
, determine o valor mínimo da velocidade angular para que ela não caia.
SEPARADOR task_1
(a)
b)
c)
d)
e)
(a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados fornecidos:
- massa da pessoa:
. - aceleração da gravidade:
. - raio do cilindro:
. - coeficiente de atrito (roupa/parede):
.
- massa da pessoa:
- O que o enunciado pede:
- determinar o valor mínimo da velocidade angular
para que a pessoa não caia quando o chão se abre.
- determinar o valor mínimo da velocidade angular
- Observação: há uma figura que mostra a pessoa encostada na parede do cilindro girante (forças normal e de atrito indicadas).
Passo 2
Identificar e desenhar (mentalmente) as forças atuando na pessoa e explicar cada uma.
- Força peso: é a força vertical para baixo, de módulo
. - Aqui
é a massa da pessoa e é a aceleração da gravidade.
- Aqui
- Força normal
: é a força horizontal que a parede exerce sobre a pessoa, direcionada da parede para o centro do cilindro. Essa força é responsável por fornecer a força centrípeta necessária para a pessoa fazer o movimento circular com a parede. - Força de atrito
: é a força tangencial entre a roupa e a parede; atua na direção vertical (para cima, no caso em que impede a queda). Essa força é limitada pelo atrito máximo estático .
Explicação física importante (sem pular etapas):
- Para a pessoa girar junto com o cilindro descrevendo um movimento circular de raio
com velocidade angular , a aceleração centrípeta tem módulo
- A única força horizontal que fornece essa aceleração é a normal
. Pelo 2.º lei de Newton na direção radial (horizontal),
- Para a pessoa não cair, a componente vertical das forças deve se anular. Como a única força vertical para cima é a força de atrito
, no caso limite (mínima ) temos
Passo 3
Relacionar a força de atrito com a normal usando a lei do atrito estático máximo.
- O atrito estático máximo vale
onde
é o coeficiente de atrito estático (aqui dado como
) e
é a força normal.
- No caso limite de desprendimento, o atrito disponível é exatamente o máximo, portanto para não cair devemos ter
No limite mínimo de rotação para não cair tomamos a igualdade
Passo 4
Substituir
(expressão obtida pelo balanço radial) na igualdade do atrito.
- Já demonstramos que
- Substituindo na condição de atrito:
- Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(a massa não zera):
- Isolando
:
- Logo
Passo 5
Calcular numericamente substituindo os valores dados.
- Substituindo
, e :
- Primeiro calcular o denominador:
- Então
- Finalmente
- Uma forma exata/rápida:
, então . Numericamente,
Passo 6
Interpretação final e checagem com as alternativas.
- O valor mínimo calculado para a velocidade angular é
. - Comparando com as alternativas fornecidas, corresponde à alternativa (b).
Resposta
b)