5-3. The shaft has an outer diameter of 1.25 in . and an inner diameter of 1 in . If it is subjected to the applied torques as shown, determine the absolute maximum shear stress developed in the shaft. The smooth bearings at A and B do not resist torque.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a tensão cortante absoluta máxima desenvolvida no eixo.
Dados fornecidos (peguei estes valores da imagem):
  • Diâmetro externo do eixo: d_o = 1{,}25\\ \text{in}.
  • Diâmetro interno do eixo (furo): d_i = 1{,}00\\ \text{in}.
  • Torques aplicados nas três posições (conforme setas da imagem):
    • Torque na extremidade esquerda: 1500\\ \text{lb}\cdot\text{in}.
    • Torque no ponto médio (engrenagem central): 2100\\ \text{lb}\cdot\text{in}.
    • Torque na extremidade direita: 600\\ \text{lb}\cdot\text{in}.
  • Rolamentos lisos em A e B não resistem torque (isto significa que eles não fornecem momento de reação).
O problema pede apenas um número: a máxima tensão de cisalhamento absoluta no eixo, em unidades de pressão (psi ou ksi).

Passo 2

Ideia geral do método (sem resolver ainda): para achar a tensão cortante máxima vamos:
  1. Determinar o diagrama de torque interno ao longo do eixo (usar equilíbrio de torques entre as seções), porque a intensidade do torque interno varia em trechos entre as aplicações de torque.
  2. Encontrar o valor absoluto máximo do torque interno |T| ao longo do eixo.
  3. Calcular a tensão de cisalhamento máxima para um eixo circular oco usando a fórmula da torção:
\tau_{\max}=\frac{T_{\max}\,c}{J},
onde:
  • T_{\max} é o valor absoluto máximo do torque interno (em \text{lb}\cdot\text{in});
  • c é o raio externo do eixo, c=\dfrac{d_o}{2} (em \text{in});
  • J é o momento polar de inércia da seção circular oca (em \text{in}^4).
Vou agora explicar cada fórmula e calcular passo a passo.

Passo 3

Escolha de sinal e leitura das setas (peguei a orientação das setas na imagem): adoto sentido horário como positivo. Observando as setas da imagem:
  • Torque da direita: T_3=+600\\ \text{lb}\cdot\text{in} (horário).
  • Torque do meio: T_2=-2100\\ \text{lb}\cdot\text{in} (contra-horário).
  • Torque da esquerda: T_1=+1500\\ \text{lb}\cdot\text{in} (horário).
Verificação rápida de equilíbrio global (para checar consistência):
T_1+T_2+T_3 = 1500 + (-2100) + 600 = 0,
ou seja, a soma dos torques aplicados é zero — consistente com o fato de que os rolamentos não fornecem torque de reação.

Passo 4

Construção do diagrama de torque interno (análise por trechos):
  • Vou percorrer o eixo da direita para a esquerda e calcular o torque interno T(x) em cada trecho. Em qualquer seção entre torques aplicados, o torque interno é constante.
Trecho à direita do torque de 600\\ \text{lb}\cdot\text{in} (extremidade direita até o ponto do torque de 600): o torque interno é igual ao torque aplicado lá:
T = +600\\ \text{lb}\cdot\text{in}.
Trecho entre o torque de 600\\ \text{lb}\cdot\text{in} (direita) e o torque de -2100\\ \text{lb}\cdot\text{in} (meio): nenhum outro torque é aplicado nesse intervalo, então o torque interno permanece
T = +600\\ \text{lb}\cdot\text{in}.
Ao atravessar o ponto do torque médio T_2=-2100\\ \text{lb}\cdot\text{in}, o torque interno sofre variação adicionando -2100:
T_{\text{à esquerda do meio}} = 600 + (-2100) = -1500\\ \text{lb}\cdot\text{in}.à
Trecho entre o meio e a esquerda (até o torque de +1500\\ \text{lb}\cdot\text{in}): o torque interno é constante e vale
T = -1500\\ \text{lb}\cdot\text{in}.
Ao atravessar o torque esquerdo T_1=+1500\\ \text{lb}\cdot\text{in}, o torque interno passa a
T_{\text{à esquerda do esquerdo}} = -1500 + 1500 = 0,à
como esperado.
Agora os valores absolutos dos torques internos nos trechos são:
|T| = 600\\ \text{lb}\cdot\text{in}\quad\text{e}\quad |T| = 1500\\ \text{lb}\cdot\text{in}.
Portanto o valor absoluto máximo do torque interno é
T_{\max} = 1500\\ \text{lb}\cdot\text{in}.
Comentário didático: o máximo de |T| ocorreu no trecho onde o torque resultante ficou -1500\\ \text{lb}\cdot\text{in} (ou seja, magnitude 1500), portanto esse é o torque que gera a maior tensão cortante.

Passo 5

Fórmula do momento polar de inércia J para seção circular oca e cálculo de J.
Fórmula:
J = \frac{\pi}{32}\left(d_o^4 - d_i^4\right),
onde:
  • d_o é o diâmetro externo,
  • d_i é o diâmetro interno.
Substituindo os valores (peguei d_o e d_i da imagem):
d_o^4 = (1{,}25)^4 = 2{,}44140625,
d_i^4 = (1{,}00)^4 = 1.
Logo
d_o^4 - d_i^4 = 2{,}44140625 - 1 = 1{,}44140625.
Então
J = \frac{\pi}{32}\left(1{,}44140625\right).
Calculando numericamente:
J \approx \frac{3{,}14159265\times 1{,}44140625}{32} \approx 0{,}1414546\\ \text{in}^4.
Raio externo (para usar em \tau=\dfrac{T c}{J}):
c = \frac{d_o}{2} = \frac{1{,}25}{2} = 0{,}625\\ \text{in}.

Passo 6

Cálculo da tensão cortante máxima usando \tau_{\max}=\dfrac{T_{\max}\,c}{J}.
Substituindo T_{\max}=1500\\ \text{lb}\cdot\text{in}, c=0{,}625\\ \text{in} e J\approx0{,}1414546\\ \text{in}^4:
\tau_{\max} = \frac{1500\cdot 0{,}625}{0{,}1414546}\\ \text{psi}.
Calcule o numerador:
1500\cdot 0{,}625 = 937{,}5.
Portanto
\tau_{\max} \approx \frac{937{,}5}{0{,}1414546} \approx 6630\\ \text{psi}.
Em unidades mais usuais:
\tau_{\max} \approx 6{,}63\\ \text{ksi}.
Explicação didática curta: a tensão de cisalhamento é máxima na superfície externa porque \tau cresce com o raio r (na fórmula \tau = T r / J), e o maior r disponível é o raio externo c. Além disso, usamos o maior valor absoluto de torque interno encontrado no diagrama ( 1500\\ \text{lb}\cdot\text{in}).

Passo 7

Resumo final do raciocínio (curto e encorajador): encontramos o diagrama de torque, identificamos T_{\max}=1500\\ \text{lb}\cdot\text{in}, calculamos J da seção oca e aplicamos \tau=\dfrac{T c}{J}. O resultado numérico é cerca de 6{,}63\\ \text{ksi}. Boa! Esse é o valor que você deve comparar com o limite de material na prova.

Resposta

\tau_{\max}=6{,}63\\ \text{ksi}

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