5-3. The shaft has an outer diameter of 1.25 in . and an inner diameter of 1 in . If it is subjected to the applied torques as shown, determine the absolute maximum shear stress developed in the shaft. The smooth bearings at
and
do not resist torque.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a tensão cortante absoluta máxima desenvolvida no eixo.
Dados fornecidos (peguei estes valores da imagem):
- Diâmetro externo do eixo:
. - Diâmetro interno do eixo (furo):
. - Torques aplicados nas três posições (conforme setas da imagem):
- Torque na extremidade esquerda:
. - Torque no ponto médio (engrenagem central):
. - Torque na extremidade direita:
.
- Torque na extremidade esquerda:
- Rolamentos lisos em
e não resistem torque (isto significa que eles não fornecem momento de reação).
O problema pede apenas um número: a máxima tensão de cisalhamento absoluta no eixo, em unidades de pressão (psi ou ksi).
Passo 2
Ideia geral do método (sem resolver ainda): para achar a tensão cortante máxima vamos:
- Determinar o diagrama de torque interno ao longo do eixo (usar equilíbrio de torques entre as seções), porque a intensidade do torque interno varia em trechos entre as aplicações de torque.
- Encontrar o valor absoluto máximo do torque interno
ao longo do eixo. - Calcular a tensão de cisalhamento máxima para um eixo circular oco usando a fórmula da torção:
onde:
-
é o valor absoluto máximo do torque interno (em ); -
é o raio externo do eixo, (em ); -
é o momento polar de inércia da seção circular oca (em ).
Vou agora explicar cada fórmula e calcular passo a passo.
Passo 3
Escolha de sinal e leitura das setas (peguei a orientação das setas na imagem): adoto sentido horário como positivo. Observando as setas da imagem:
- Torque da direita:
(horário). - Torque do meio:
(contra-horário). - Torque da esquerda:
(horário).
Verificação rápida de equilíbrio global (para checar consistência):
ou seja, a soma dos torques aplicados é zero — consistente com o fato de que os rolamentos não fornecem torque de reação.
Passo 4
Construção do diagrama de torque interno (análise por trechos):
- Vou percorrer o eixo da direita para a esquerda e calcular o torque interno
em cada trecho. Em qualquer seção entre torques aplicados, o torque interno é constante.
Trecho à direita do torque de
(extremidade direita até o ponto do torque de
): o torque interno é igual ao torque aplicado lá:
Trecho entre o torque de
(direita) e o torque de
(meio): nenhum outro torque é aplicado nesse intervalo, então o torque interno permanece
Ao atravessar o ponto do torque médio
, o torque interno sofre variação adicionando
:
Trecho entre o meio e a esquerda (até o torque de
): o torque interno é constante e vale
Ao atravessar o torque esquerdo
, o torque interno passa a
como esperado.
Agora os valores absolutos dos torques internos nos trechos são:
Portanto o valor absoluto máximo do torque interno é
Comentário didático: o máximo de
ocorreu no trecho onde o torque resultante ficou
(ou seja, magnitude
), portanto esse é o torque que gera a maior tensão cortante.
Passo 5
Fórmula do momento polar de inércia
para seção circular oca e cálculo de
.
Fórmula:
onde:
-
é o diâmetro externo, -
é o diâmetro interno.
Substituindo os valores (peguei
e
da imagem):
Logo
Então
Calculando numericamente:
Raio externo (para usar em
):
Passo 6
Cálculo da tensão cortante máxima usando
.
Substituindo
,
e
:
Calcule o numerador:
Portanto
Em unidades mais usuais:
Explicação didática curta: a tensão de cisalhamento é máxima na superfície externa porque
cresce com o raio
(na fórmula
), e o maior
disponível é o raio externo
. Além disso, usamos o maior valor absoluto de torque interno encontrado no diagrama (
).
Passo 7
Resumo final do raciocínio (curto e encorajador): encontramos o diagrama de torque, identificamos
, calculamos
da seção oca e aplicamos
. O resultado numérico é cerca de
. Boa! Esse é o valor que você deve comparar com o limite de material na prova.