3.37 A barra de alumínio B C(G=26 \mathrm{GPa}) está ligada à barra de latão A B (G=39 \mathrm{GPa}). Sabendo que cada barra é de seção cheia e tem um diâmetro de 12 mm , determine o ângulo de torção (a) em B e (b) em C.

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e quais dados temos (peguei os comprimentos e o torque da imagem fornecida).
  • O enunciado pede o ângulo de torção em B e em C.
  • Dados (peguei estes valores da imagem):
    • Torque aplicado em C: T=100\\ \mathrm{N\cdot m}.
    • Diâmetro de cada barra: d=12\\ \mathrm{mm}.
    • Comprimento da barra de latão AB: L_{AB}=200\\ \mathrm{mm}.
    • Comprimento da barra de alumínio BC: L_{BC}=300\\ \mathrm{mm}.
    • Módulo de cisalhamento do latão: G_{AB}=39\\ \mathrm{GPa}.
    • Módulo de cisalhamento do alumínio: G_{BC}=26\\ \mathrm{GPa}.
  • Interpretação das perguntas (vou usar a interpretação habitual em problemas desse tipo):
    • Ângulo em B = rotação da seção em B em relação à seção fixa em A (isto é, torção acumulada na porção AB).
    • Ângulo em C = rotação da seção em C em relação à seção fixa em A (isto é, torção acumulada em AB mais em BC).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho):
  • Para um eixo circular sólido submetido a torque constante T, a pequena rotação (ângulo de torção) ao longo de um comprimento L é dada por
\varphi=\frac{T\,L}{G\,J},
onde:
  • \varphi é o ângulo de torção (em radianos);
  • T é o torque aplicado (em \mathrm{N\cdot m});
  • L é o comprimento do trecho considerado (em \mathrm{m});
  • G é o módulo de cisalhamento do material (em \mathrm{Pa});
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (em \mathrm{m^4}).
  • Para uma seção circular maciça de diâmetro d vale
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
  • Observações importantes:
    • Como não há torques externos entre A e C, o mesmo torque T=100\\ \mathrm{N\cdot m} é transmitido por ambas as barras; portanto usamos o mesmo T em cada fórmula.
    • Os ângulos se somam ao longo do eixo: ângulo total em C relativo a A é \varphi_{AB}+\varphi_{BC}.

Passo 3

Cálculo do momento polar J (vou converter tudo para SI: metros).
  • Diâmetro d=12\\ \mathrm{mm}=0{,}012\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro calculo d^{4}: d^{4}=(0{,}012)^{4}=2{,}0736\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{4}}.
  • Agora J: J=\frac{\pi d^{4}}{32}=\frac{\pi\cdot 2{,}0736\times10^{-8}}{32}=2{,}035878\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{4}}.(arredondei o último algarismo de forma consistente; guardarei precisão para os passos seguintes)

Passo 4

Cálculo do ângulo de torção em B (trecho AB, material: latão).
  • Converto o comprimento: L_{AB}=200\\ \mathrm{mm}=0{,}200\\ \mathrm{m}.
  • Uso a fórmula \varphi=\dfrac{T L}{G J} com T=100\\ \mathrm{N\cdot m}, G_{AB}=39\\ \mathrm{GPa}=39\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} e o J calculado.
  • Denominador: G_{AB}J = 39\times10^{9}\cdot 2{,}035878\times10^{-9}=79{,}399242\\ \text{(unidade N·m² que cancela adequadamente)}.²
  • Numerador: T L_{AB}=100\cdot 0{,}200=20.
  • Portanto \varphi_{B}=\varphi_{AB}=\frac{20}{79{,}399242}=0{,}251883\\ \text{rad}.
  • Se quiser em graus: \varphi_{B}=0{,}251883\times\frac{180}{\pi}\approx 14{,}43^\circ.

Passo 5

Cálculo do ângulo de torção no trecho BC (alumínio) e ângulo total em C.
  • Comprimento L_{BC}=300\\ \mathrm{mm}=0{,}300\\ \mathrm{m}.
  • G_{BC}=26\\ \mathrm{GPa}=26\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • Denominador para BC: G_{BC}J = 26\times10^{9}\cdot 2{,}035878\times10^{-9}=52{,}933828.
  • Numerador: T L_{BC}=100\cdot 0{,}300=30.
  • Ângulo em BC: \varphi_{BC}=\frac{30}{52{,}933828}=0{,}566789\\ \text{rad}.Em graus: \varphi_{BC}\approx 0{,}566789\times\frac{180}{\pi}\approx 32{,}49^\circ.
  • Ângulo total em C (relativo a A) é soma: \varphi_{C}=\varphi_{AB}+\varphi_{BC}=0{,}251883+0{,}566789=0{,}818672\\ \text{rad},ou em graus \varphi_{C}\approx 46{,}92^\circ.

Passo 6

Resumo numérico e interpretação rápida (para você checar na prova):
  • A rotação em B é apenas a contribuição do trecho AB (latão).
  • A rotação em C é a soma das rotações de AB (latão) e BC (alumínio).
  • Valores finais foram obtidos usando a fórmula \varphi=TL/(GJ) e o momento polar de seção sólida J=\pi d^{4}/32.

Resposta

(a) \varphi_{B}=0{,}251883\\ \text{rad}\approx 14{,}43^\circ
(b) \varphi_{C}=0{,}818672\\ \text{rad}\approx 46{,}92^\circ

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