O valor de a para que o sistema \left\{\begin{array}{l}x+2 y=18 \\\\ 3 x-a y=54\end{array}\right. seja possível e indeterminado é:
a) -6
b) 6
c) 2
d) -2

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + 2y = 18,\\\\ 3x - a y = 54, \end{cases}
e pede o valor de a tal que o sistema seja possível e indeterminado (isto é, tenha infinitas soluções). O conteúdo aqui é sistema de duas equações lineares em duas incógnitas e a condição para infinitas soluções: as equações devem ser proporcionais.

Passo 2

Para que as duas equações sejam proporcionais, deve existir um escalar \lambda tal que
3 = \lambda \cdot 1, \quad -\,a = \lambda \cdot 2, \quad 54 = \lambda \cdot 18.
Em outras palavras, as razões dos coeficientes e dos termos independentes coincidem:
\frac{3}{1} \;=\;\frac{-a}{2}\;=\;\frac{54}{18}.

Passo 3

Calculemos as duas razões conhecidas:
\frac{3}{1} = 3, \quad \frac{54}{18} = 3,
logo \lambda = 3. Em seguida,
\frac{-a}{2} = 3 \quad\Longrightarrow\quad -\,a = 6 \quad\Longrightarrow\quad a = -6.

Resposta

a) -6

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