O valor da tensão superficial do acetato de etila a 0^{\circ} \mathrm{C} é 26,5 \mathrm{mN} / \mathrm{m}, e sua temperatura crítica é 523,2 \mathrm{~K}. Estime o valor da tensão superficial a 50^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma estimativa:
\text{Dado: }\gamma(0^\circ\mathrm{C})=26{,}5\\ \mathrm{mN}/\mathrm{m},
\text{Dado: }T_c=523{,}2\\ \mathrm{K},
\text{Pedido: estimar }\gamma(50^\circ\mathrm{C}).
Vou precisar converter temperaturas em Celsius para Kelvin antes de usar fórmulas que envolvem T_c.

Passo 2

Converter as temperaturas para Kelvin:
T_0 = 0^\circ\mathrm{C} = 273{,}15\\ \mathrm{K},
T = 50^\circ\mathrm{C} = 323{,}15\\ \mathrm{K}.
Aqui \gamma(T_0)=\gamma(0^\circ\mathrm{C})=26{,}5\\ \mathrm{mN}/\mathrm{m}.

Passo 3

Escolha do método (explicação didática e justificativa):
Não foi indicado no enunciado qual fórmula usar. Uma relação prática e comumente usada para estimar a dependência da tensão superficial com a temperatura, quando se conhece a tensão superficial a uma temperatura de referência e a temperatura crítica, é a forma empírica de Guggenheim–Katayama:
\gamma(T)=A\left(T_c-T\right)^{n},
onde A e n são constantes para a substância; experimentalmente costuma-se usar n=\tfrac{11}{9}\approx 1{,}222. Como não conhecemos A mas temos \gamma em uma temperatura de referência T_0, podemos eliminar A dividindo as expressões para T e T_0. Essa escolha é prática porque usa só T_c e o valor conhecido \gamma(T_0), sem precisar do volume molar (evitando uso de Eötvös que exigiria isso).

Passo 4

Derivar a fórmula que vamos usar:
Partindo de
\gamma(T)=A\left(T_c-T\right)^{11/9}
e
\gamma(T_0)=A\left(T_c-T_0\right)^{11/9},
dividindo termo a termo obtemos
\frac{\gamma(T)}{\gamma(T_0)}=\left(\frac{T_c-T}{T_c-T_0}\right)^{11/9}.
Isolando \gamma(T):
\gamma(T)=\gamma(T_0)\left(\frac{T_c-T}{T_c-T_0}\right)^{11/9}.
Nesta fórmula:
  • \gamma(T) é a tensão superficial na temperatura que queremos estimar;
  • \gamma(T_0) é a tensão superficial conhecida na temperatura de referência;
  • T_c é a temperatura crítica;
  • T e T_0 são temperaturas absolutas (em Kelvin);
  • o expoente 11/9 é a aproximação empírica usada aqui.

Passo 5

Substituir os valores numéricos conhecidos na fórmula:
\gamma(323{,}15\\ \mathrm{K})=26{,}5\left(\frac{523{,}2-323{,}15}{523{,}2-273{,}15}\right)^{11/9}\\ \mathrm{mN}/\mathrm{m}.

Passo 6

Calcular os termos internos passo a passo:
T_c-T=523{,}2-323{,}15=200{,}05\\ \mathrm{K},
T_c-T_0=523{,}2-273{,}15=250{,}05\\ \mathrm{K},
\text{razão }r=\frac{T_c-T}{T_c-T_0}=\frac{200{,}05}{250{,}05}\approx 0{,}80004.ã

Passo 7

Elevar r à potência 11/9:
r^{11/9}\approx (0{,}80004)^{1{,}222\ldots}.
Uma forma prática é usar logaritmos para calcular a potência:
\ln r \approx \ln(0{,}80004)\approx -0{,}22309,
\frac{11}{9}\ln r \approx 1{,}222\ldots\times(-0{,}22309)\approx -0{,}27266,
r^{11/9}=\exp\big((11/9)\ln r\big)\approx \exp(-0{,}27266)\approx 0{,}7612.

Passo 8

Calcular a tensão superficial estimada multiplicando por \gamma(T_0):
\gamma(323{,}15\\ \mathrm{K})\approx 26{,}5\times 0{,}7612\\ \mathrm{mN}/\mathrm{m}\approx 20{,}17\\ \mathrm{mN}/\mathrm{m}.

Passo 9

Arredondamento e interpretação final:
Arredondando para uma casa decimal (próximo para uso prático em problemas de estimativa),
\gamma(50^\circ\mathrm{C})\approx 20{,}2\\ \mathrm{mN}/\mathrm{m}.
Isso faz sentido físico: a tensão superficial normalmente diminui ao aumentar a temperatura, e a queda obtida (de 26{,}5 para \sim20{,}2) é qualitativamente razoável para um aumento de 50^\circ\mathrm{C}.

Resposta

20{,}2\\ \mathrm{mN}/\mathrm{m}

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