O ângulo de contato na interface de mercúrio/ar com o vidro é igual a 140^{\circ}. Calcule a altura da depressão de mercúrio em um capilar de diâmetro interno igual a 0,350 \mathrm{~mm}. Dados para 0 mercúrio a 20^{\circ} \mathrm{C} : \rho=13,59 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ; \gamma=490 \mathrm{ergs} / \mathrm{cm}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a altura da depressão de mercúrio em um capilar com diâmetro interno dado.
Informações fornecidas:
\theta = 140^\circ
d = 0,350\\ \mathrm{mm}
\rho = 13,59\\ \mathrm{g/cm^3}
\gamma = 490\\ \mathrm{ergs/cm^2}
Temperatura não entra diretamente no cálculo além dos valores acima. Não foi fornecido g, então usaremos o valor padrão em unidades cgs:
g = 980\\ \mathrm{cm/s^2}.

Passo 2

Explicação física e fórmula a usar (aula rápida): quando um líquido está em um tubo capilar, a tensão superficial ao longo da linha de contato com a parede puxa o líquido ao longo da circunferência do tubo. A componente vertical dessa força de tensão superficial equilibra o peso da coluna de líquido que sobe ou desce. Para um tubo cilíndrico de raio r e altura h (positiva para subida, negativa para depressão), o equilíbrio é
\text{Força vertical da tensão superficial} = \text{Peso da coluna}.çã
A força vertical é a tensão superficial multiplicada pela circunferência e pela componente vertical \cos\theta:
2\pi r\,\gamma\cos\theta.
O peso da coluna de líquido é a massa vezes g; a massa é o volume vezes a densidade:
\pi r^2 h \,\rho\, g.
Igualando as duas:
2\pi r\,\gamma\cos\theta = \pi r^2 h \,\rho\, g.
Simplificando \pi r obtém-se a fórmula conhecida do efeito capilar:
\boxed{h = \dfrac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r}.}
Comentário didático: aqui h pode ser negativo se \cos\theta for negativo (caso \theta>90^\circ), o que indica depressão do líquido no capilar — exatamente o caso do mercúrio no vidro com \theta=140^\circ.

Passo 3

Converter unidades e calcular o raio do capilar. O diâmetro dado é
d = 0,350\\ \mathrm{mm}.
Converter para centímetros (1 mm = 0,1 cm):
d = 0,350\times 0,1 = 0,0350\\ \mathrm{cm}.
O raio é metade do diâmetro:
r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{0,0350}{2} = 0,0175\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Calcular \cos\theta. Como \theta = 140^\circ e 140^\circ = 180^\circ - 40^\circ, temos
\cos 140^\circ = -\cos 40^\circ.
Usando o valor aproximado \cos 40^\circ \approx 0,766044, obtemos
\cos 140^\circ \approx -0,766044.

Passo 5

Substituir os valores na fórmula
h = \dfrac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r}.
Primeiro calcular o numerador:
2\gamma\cos\theta = 2\times 490\times(-0,766044).
Calcule passo a passo:
2\times 490 = 980,
980\times 0,766044 \approx 750,72312,
portanto
2\gamma\cos\theta \approx -750,72312\\ (\text{unidade: erg/cm}^2 \equiv \text{dyn/cm}).

Passo 6

Calcular o denominador:
\rho g r = 13,59\times 980\times 0,0175.
Passo a passo:
13,59\times 980 = 13,59\times(1000-20)=13590-271,8=13318,2,
13318,2\times 0,0175 = 233,0685.
Logo
\rho g r \approx 233,0685\\ (\text{unidade compatível com dyn/cm}).í

Passo 7

Dividir numerador por denominador para obter h:
h \approx \dfrac{-750,72312}{233,0685} \approx -3,22105\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: o sinal negativo indica que o mercúrio se deprime no capilar (ou seja, a superfície do mercúrio no interior está abaixo do nível externo). A magnitude da depressão é 3,22105\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Arredondamento final com número de algarismos significativos razoável (dados iniciais têm cerca de 3 algarismos significativos), damos o resultado com três algarismos significativos:
h \approx 3,22\\ \mathrm{cm}\\ \text{(depressão)}.ã

Resposta

h=3,22\\ \mathrm{cm}

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