O valor da Vmáx encontrado para a enzima que catalisa a reação abaixo é de 600 \mu \mathrm{M} / \mathrm{s}.
\mathrm{T} \longleftrightarrow \mathrm{R}
Quando [\mathrm{S}]=40 \mu \mathrm{M}, a velocidade da reação é de 9,6 \mu \mathrm{M} / \mathrm{s}.
a) Calcule o Km para o substrato.
b) O que acontece quando a [S] é duplicada?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade máxima: \,V_{\max}=600\\ \mu\mathrm{M}\!/\mathrm{s}.
    • Quando [\mathrm{S}]=40\\ \mu\mathrm{M}, a velocidade é \,v=9,6\\ \mu\mathrm{M}\!/\mathrm{s}.
    • Reação enzimática típica: \mathrm{T}\rightleftharpoons\mathrm{R} (tem uma enzima que catalisa; vamos usar a cinética de Michaelis–Menten).
  • Perguntas:
    (a) Calcular o K_m para o substrato.
    (b) O que acontece quando a concentração de substrato [\mathrm{S}] é duplicada (isto é, passa de 40\\ \mu\mathrm{M} para 80\\ \mu\mathrm{M})?

Passo 2

Apresentando a fórmula que vamos usar e explicando cada termo (aula rápida e prática).
A relação de Michaelis–Menten diz:
v=\frac{V_{\max}\,[\mathrm{S}]}{K_{m}+[\mathrm{S}]}
Onde:
  • v é a velocidade observada da reação (aqui em \mu\mathrm{M}\!/\mathrm{s}).
  • V_{\max} é a velocidade máxima quando a enzima está saturada de substrato.
  • [\mathrm{S}] é a concentração de substrato.
  • K_{m} é a constante de Michaelis — a concentração de substrato na qual v=\tfrac{1}{2}V_{\max}. Na prática, K_m mede a afinidade aparente da enzima pelo substrato (quanto menor K_m, maior afinidade).
Vou usar essa fórmula para isolar K_m e calcular com os dados fornecidos.

Passo 3

Isolando K_m algebricamente a partir da fórmula.
Partimos de
v=\frac{V_{\max}\,[\mathrm{S}]}{K_{m}+[\mathrm{S}]}
Multiplicando ambos os lados por K_{m}+[\mathrm{S}]:
v\,(K_{m}+[\mathrm{S}])=V_{\max}\,[\mathrm{S}]
Distribuindo v:
vK_{m}+v[\mathrm{S}]=V_{\max}[\mathrm{S}]
Isolando K_{m}:
vK_{m}=V_{\max}[\mathrm{S}]-v[\mathrm{S}]=[\mathrm{S}](V_{\max}-v)
Logo
K_{m}=\frac{[\mathrm{S}](V_{\max}-v)}{v}=[\mathrm{S}\!\,]\!\left(\frac{V_{\max}}{v}-1\right).
Essa fórmula é útil: dado V_{\max}, v e [\mathrm{S}], conseguimos K_m.

Passo 4

Substituindo os números e calculando passo a passo (contas que dá para fazer na prova sem calculadora, explico o raciocínio).
Temos [\mathrm{S}]=40\\ \mu\mathrm{M}, V_{\max}=600\\ \mu\mathrm{M}\!/\mathrm{s} e v=9,6\\ \mu\mathrm{M}\!/\mathrm{s}.
Calcular primeiro a razão \dfrac{V_{\max}}{v}:
\frac{V_{\max}}{v}=\frac{600}{9,6}=62,5.
Agora usar a fórmula para K_m:
K_{m}=40\left(62,5-1\right)=40\cdot61,5.
Multiplicando:
40\cdot61,5=2460.
Portanto
K_{m}=2460\\ \mu\mathrm{M}.
Se preferir em mili \mathrm{M}: 2460\\ \mu\mathrm{M}=2,46\\ \mathrm{mM}.

Passo 5

Explicando o significado do valor encontrado (didática curta).
Um K_m de 2460\\ \mu\mathrm{M} é bem maior que a concentração inicial usada ( 40\\ \mu\mathrm{M}). Isso quer dizer que, nessa região, a enzima está longe de saturação — pequenas variações em [\mathrm{S}] vão provocar mudanças proporcionais na velocidade (regime quase de primeira ordem em [\mathrm{S}]).

Passo 6

Respondendo (b): o que acontece quando [\mathrm{S}] é duplicada — cálculo numérico e interpretação.
Duplicar [\mathrm{S}] significa passar para [\mathrm{S}]_2=80\\ \mu\mathrm{M}. Usamos novamente Michaelis–Menten:
v_2=\frac{V_{\max}\,[\mathrm{S}]_2}{K_{m}+[\mathrm{S}]_2}=\frac{600\cdot80}{2460+80}.
Calculando o denominador: 2460+80=2540.
Calculando o numerador: 600\cdot80=48000.
Logo
v_2=\frac{48000}{2540}\approx18,9\\ \mu\mathrm{M}\!/\mathrm{s}.
Comparação com o dobro da velocidade original: o dobro de 9,6\\ \mu\mathrm{M}\!/\mathrm{s} é 19,2\\ \mu\mathrm{M}\!/\mathrm{s}. O valor calculado 18,9\\ \mu\mathrm{M}\!/\mathrm{s} é muito próximo de 19,2; portanto, ao duplicar [\mathrm{S}] neste caso (onde [\mathrm{S}]\ll K_m), a velocidade praticamente dobra — comportamento esperado em regime não saturado.

Passo 7

Resumo intuitivo e dica para prova (motivação rápida).
  • Quando [\mathrm{S}]\ll K_m a velocidade cresce quase linearmente com [\mathrm{S}] (dobrar [\mathrm{S}] quase dobra v).
  • Quando [\mathrm{S}]\gg K_m a velocidade tende a V_{\max} e duplicar [\mathrm{S}] praticamente não altera v (saturação).
  • Na prova, se receber V_{\max}, v e [\mathrm{S}], use a fórmula do Passo 3 para achar K_m direto — é uma conta algébrica simples.
Força aí, você já tem o procedimento bem mastigado: isolar K_m na fórmula e substituir. Vai dar tudo certo!

Resposta

(a) K_{m}=2460\\ \mu\mathrm{M}=2,46\\ \mathrm{mM}.
(b) Ao duplicar [\mathrm{S}] para 80\\ \mu\mathrm{M} obtém-se v_2\approx18,9\\ \mu\mathrm{M}\!/\mathrm{s}, ou seja, a velocidade praticamente dobra (de 9,6 para \approx18,9\\ \mu\mathrm{M}\!/\mathrm{s}).

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