Gás etano (C2H6) a 25{ }^{\circ} \mathrm{C} é queimado estequiometricamente com ar teórico a (\mathrm{X} \times 50) \mathrm{K} e 1 atm . Calcule a transferência de calor de um combustor de escoamento em regime permanente se os produtos estão a 1000 K .

Passo 1

O enunciado (vou listar sem resolver ainda) nos dá as seguintes informações e pede um resultado claro:
  • Combustível: gás etano \mathrm{C_2H_6} à temperatura inicial 25{ }^\circ\mathrm{C} (ou seja, 298\\ \mathrm{K}).
  • Ar: fornecido estequiometricamente (ar teórico) à temperatura T_{\text{ar}} = (X\times 50)\\ \mathrm{K} e 1\\ \mathrm{atm}. O problema deixa X como parâmetro (não fornecido), então a resposta ficará em função de X.
  • Produtos: temperatura final dos produtos T_{\text{prod}} = 1000\\ \mathrm{K}.
  • Regime: escoamento em regime permanente (estado estacionário), sem indicação de variação de cinética/energia cinética/energia potencial.
  • O que se pede: calcular a transferência de calor do combustor (energia térmica trocada) — vou apresentar o resultado por mol de combustível queimado e explicitar o sinal (se calor sai ou entra).
Informações úteis que usarei (serão explicitadas e justificadas nos próximos passos):
  • reação estequiométrica completa do etano com o oxigênio do ar (ar tratado como mistura \mathrm{O_2} + 3{,}76\,\mathrm{N_2});
  • balanço de energia para escoamento estacionário a pressão constante (equação das entalpias);
  • entalpias padrão de formação à 298\\ \mathrm{K} e calor específico molar aproximado (assumirei c_p constantes médios para poder integrar facilmente e obter um resultado prático). Vou explicitar os valores numéricos escolhidos e justificar que são aproximações usuais em exercícios de termodinâmica/combustão.

Passo 2

Escrever e balancear a reação de combustão estequiométrica do etano (considerando produtos \mathrm{CO_2} e \mathrm{H_2O} gasosos):
\mathrm{C_2H_6} + \frac{7}{2}\mathrm{O_2} \longrightarrow 2\,\mathrm{CO_2} + 3\,\mathrm{H_2O}.
Como o oxigênio vem do ar, e consideramos ar seco com razão molar \mathrm{N_2}/\mathrm{O_2} = 3{,}76, o número de moles de ar necessários por mol de etano é
n_{\text{ar}} = \frac{7}{2}\times\bigl(1 + 3{,}76\bigr) = \frac{7}{2}\times 4{,}76 = 3{,}5\times 4{,}76 = 16{,}66\\ \text{mol de ar por mol de } \mathrm{C_2H_6}.
Separando em \mathrm{O_2} e \mathrm{N_2} (por mol de combustível):
  • n_{\mathrm{O_2}} = 3{,}5\\ \mathrm{mol},
  • n_{\mathrm{N_2}} = 3{,}5\times 3{,}76 = 13{,}16\\ \mathrm{mol}.
Produtos por mol de combustível:
  • 2 mol de \mathrm{CO_2},
  • 3 mol de \mathrm{H_2O} (gás),
  • 13{,}16 mol de \mathrm{N_2} (inertes do ar).

Passo 3

Formulação do balanço energético (hipóteses e escrita da equação):
Para escoamento estacionário, desprezando variações de energia cinética e potencial e assumindo trabalho de fluxo apenas por pressão ambiente (ou seja, controle típico de combustor à pressão constante), o balanço de energia por mol de combustível é
Q = \sum_{\text{produtos}} n_i\,h_i(T_{\text{prod}}) \;-\; \sum_{\text{reatantes}} n_j\,h_j(T_{\text{in}}),
onde:
  • Q é a transferência de calor por mol de combustível (positivo quando calor entra no controle, negativo quando calor sai do controle);
  • h_i(T) é a entalpia molar da espécie i à temperatura T;
  • n_i são os coeficientes estequiométricos (moles por mol de combustível).
A entalpia molar h(T) de cada espécie será escrita como soma da entalpia padrão de formação à 298\\ \mathrm{K} mais a variação sensível de 298\\ \mathrm{K} até a temperatura considerada:
h(T) = \Delta H_f^\circ(298\\ \mathrm{K}) + \int_{298}^{T} c_p(T')\,\mathrm{d}T'.
Para tornar o cálculo manejável em prova, usarei a aproximação de c_p constante (valor médio) em cada espécie, o que dá
\int_{298}^{T} c_p\,\mathrm{d}T' \approx c_p\,(T-298).
Vou explicitar os valores de \Delta H_f^\circ e c_p usados e mostrar como montar todas as parcelas.

Passo 4

Dados termodinâmicos usados (valores padrão e aproximações adotadas). Esses valores são os típicos em exercícios; eles são aproximações médias e permitem cálculo manual razoável:
Entalpias padrão de formação à 298\\ \mathrm{K} (em \mathrm{kJ\;mol^{-1}}):
\Delta H_f^\circ(\mathrm{C_2H_6,g}) = -84{,}0, \quad \Delta H_f^\circ(\mathrm{CO_2,g}) = -393{,}5, \quad \Delta H_f^\circ(\mathrm{H_2O,g}) = -241{,}8,
\Delta H_f^\circ(\mathrm{O_2}) = 0,\qquad \Delta H_f^\circ(\mathrm{N_2}) = 0.
Calores específicos molares médios aproximados ( c_p) usados (valores em \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}; assumidos constantes no intervalo relevante):
c_p(\mathrm{C_2H_6}) = 52{,}49, \quad c_p(\mathrm{CO_2}) = 37{,}135, \quad c_p(\mathrm{H_2O,g}) = 33{,}58,
c_p(\mathrm{O_2}) = 29{,}36, \quad c_p(\mathrm{N_2}) = 29{,}12.
Observação didática curta: usar c_p constantes é uma aproximação comum em provas quando não são fornecidas tabelas de c_p(T). Para maior precisão, usariam-se polinômios NASA e integração, mas isso complica muito sem calculadora. Aqui a aproximação dá um valor numericamente correto em ordem de grandeza e aceitável em contexto de exercício.

Passo 5

Calcular a contribuição das entalpias padrão de formação (todas à 298\\ \mathrm{K}), por mol de combustível.
Entalpia padrão dos produtos (formação):
\sum \Delta H_{f,\text{prod}} = 2\cdot(-393{,}5) + 3\cdot(-241{,}8) = -787{,}0 -725{,}4 = -1\,512{,}4\\ \mathrm{kJ}.
Entalpia padrão dos reatantes (formação):
\sum \Delta H_{f,\text{reat}} = 1\cdot(-84{,}0) + 3{,}5\cdot 0 + 13{,}16\cdot 0 = -84{,}0\\ \mathrm{kJ}.
Logo, o calor de combustão padrão (mudança de entalpia reagentes \to produtos a 298\\ \mathrm{K}) é
\Delta H^\circ_{298} = -1\,512{,}4 - (-84{,}0) = -1\,428{,}4\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.
Comentário: este valor negativo confirma que a combustão do etano é fortemente exotérmica (libera cerca de 1{,}428\\ \mathrm{MJ} por mol na referência 298\\ \mathrm{K}).

Passo 6

Calcular as contribuições sensíveis (variações de entalpia devido à mudança de temperatura) para cada corrente, por mol de combustível.
Definir temperaturas de referência e variações:
  • combustível \mathrm{C_2H_6} está a 298\\ \mathrm{K} (logo não há variação sensível inicial para o combustível: T_{\text{C2H6}} = 298\\ \mathrm{K}).
  • ar entra a T_{\text{ar}} = 50X\\ \mathrm{K}.
  • produtos saem a T_{\text{prod}} = 1000\\ \mathrm{K}.
Variação sensível total dos produtos (integrações approximadas c_p\,(T-298)):
\Delta h_{\text{sens,prod}} = 2\,c_p(\mathrm{CO_2})(1000-298) + 3\,c_p(\mathrm{H_2O})(1000-298) + 13{,}16\,c_p(\mathrm{N_2})(1000-298).
Calcular \Delta T_{\text{prod}} = 1000 - 298 = 702\\ \mathrm{K}.
Agora calcular parcela a parcela (em \mathrm{kJ}, lembrando que 1\\ \mathrm{kJ} = 1000\\ \mathrm{J}):
  • Para \mathrm{CO_2}: 2\cdot 37{,}135\\ \mathrm{J\;mol^{-1}K^{-1}}\cdot 702\\ \mathrm{K} = 74{,}27\cdot 702\\ \mathrm{J} = 52\,137{,}5\\ \mathrm{J} = 52{,}138\\ \mathrm{kJ}.
  • Para \mathrm{H_2O(g)}: 3\cdot 33{,}58\cdot 702 = 100{,}74\cdot 702\\ \mathrm{J} = 70\,719{,}5\\ \mathrm{J} = 70{,}719\\ \mathrm{kJ}.
  • Para \mathrm{N_2}: 13{,}16\cdot 29{,}12\cdot 702 = 383{,}12\cdot 702\\ \mathrm{J} = 268\,950{,}2\\ \mathrm{J} = 268{,}950\\ \mathrm{kJ} — note: valores em J grandes, convertido abaixo.
Somando (em kJ):
\Delta h_{\text{sens,prod}} \approx 52{,}138 + 70{,}719 + 268{,}950 = 391{,}807\\ \mathrm{kJ}.
Portanto a entalpia total dos produtos (formação + sensível) por mol de combustível é:
H_{\text{prod}} = -1\,512{,}4\\ \mathrm{kJ} + 391{,}807\\ \mathrm{kJ} = -1\,120{,}593\\ \mathrm{kJ}.
(Arredondei as somas mantendo 3 casas significativas nas etapas intermediárias para clareza.)

Passo 7

Calcular a entalpia total dos reagentes por mol de combustível:
Reagentes têm duas contribuições: entalpia padrão de formação do etano e a parcela sensível do ar (o etano já está a 298\\ \mathrm{K}, logo sua sensível é zero).
Variação sensível do ar (do seu estado a T_{\text{ar}}=50X até 298\\ \mathrm{K} de referência nas formações): como a entalpia de formação é dada a 298\\ \mathrm{K}, a entalpia absoluta do ar na entrada relativa a essa referência é
\Delta h_{\text{sens,ar}} = n_{\mathrm{O_2}}\,c_p(\mathrm{O_2})\,(T_{\text{ar}}-298) + n_{\mathrm{N_2}}\,c_p(\mathrm{N_2})\,(T_{\text{ar}}-298).
Substituindo números:
n_{\mathrm{O_2}} = 3{,}5,\quad n_{\mathrm{N_2}} = 13{,}16.
Calcular a soma dos calores molares ponderados:
3{,}5\cdot 29{,}36 + 13{,}16\cdot 29{,}12 = 102{,}76 + 383{,}12 = 485{,}88\\ \mathrm{J\;K^{-1}}.
Então
\Delta h_{\text{sens,ar}} = 485{,}88\,(T_{\text{ar}}-298)\\ \mathrm{J} = 0{,}48588\,(T_{\text{ar}}-298)\\ \mathrm{kJ}.
Lembrando T_{\text{ar}} = 50X, obtemos
\Delta h_{\text{sens,ar}} = 0{,}48588\,(50X - 298)\\ \mathrm{kJ}.
A entalpia total dos reagentes então é
H_{\text{reat}} = \Delta H_f^\circ(\mathrm{C_2H_6}) + \Delta h_{\text{sens,ar}} = -84{,}0\\ \mathrm{kJ} + 0{,}48588\,(50X - 298)\\ \mathrm{kJ}.

Passo 8

Agora aplicar o balanço Q = H_{\text{prod}} - H_{\text{reat}} e simplificar para obter Q por mol de combustível em função de X.
Substituindo os valores numéricos encontrados:
Q = -1\,120{,}593 \;-\; \Bigl[-84{,}0 + 0{,}48588(50X-298)\Bigr]\\ \mathrm{kJ}.
Desenvolvendo (atenção aos sinais):
Q = -1\,120{,}593 +84{,}0 -0{,}48588(50X-298)\\ \mathrm{kJ}.
Q = -1\,036{,}593 -0{,}48588(50X-298)\\ \mathrm{kJ}.
Expandindo o termo com X:
0{,}48588(50X-298) = 0{,}48588\cdot 50X - 0{,}48588\cdot 298 = 24{,}294X - 144{,}832\\ (\mathrm{kJ}).
Portanto
Q = -1\,036{,}593 -\bigl(24{,}294X - 144{,}832\bigr)\\ \mathrm{kJ}.
Q = -1\,036{,}593 -24{,}294X +144{,}832\\ \mathrm{kJ}.
Q = -891{,}761 - 24{,}294\,X\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
Q \approx -891{,}76 - 24{,}29\,X\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.
Interpretação do sinal: como Q ficou negativo para qualquer X\ge 0, significa que a combustão libera calor ao redor do combustor (isto é, calor sai do fluxo para o entorno). Se preferir o módulo (quantidade de calor que deve ser removida do sistema), a magnitude é
|Q| \approx 891{,}76 + 24{,}29\,X\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.

Passo 9

Observações finais e uso prático:
  • Resultado final está em função de X porque a temperatura do ar de entrada foi dada como 50X\\ \mathrm{K}. Para um exemplo concreto, se X=6 (ar a 300\\ \mathrm{K}), substitua X=6 em Q e obtenha Q \approx -891{,}76 -24{,}29\cdot 6 = -1\,036{,}5\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}, que recai próximo ao calor de combustão padrão (diferença devido ao aquecimento dos produtos e do ar).
  • Se for preciso potência térmica (kW) em serviço, multiplica-se Q (kJ/mol) pela vazão molar de combustível (mol/s) para obter \dot{Q} em kJ/s = kW.
  • Lembrete sobre aproximações: usei c_p constantes médias e valores típicos de \Delta H_f^\circ. Para maior precisão (por exemplo, em projeto real), usar polinômios de c_p(T) (NASA) para integrar corretamente de 298 a 1000\\ \mathrm{K}.

Resposta

Q \approx -891{,}76 - 24{,}29\,X\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}

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