Para que valores de \alpha, S=\{(1-\alpha, 1+\alpha),(1+\alpha, 1-\alpha)\} \subset \mathbb{R}^{2} é LD ?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = \{\,v_1,\,v_2\}\subset\mathbb{R}^2
onde
v_1 = (1-\alpha,\;1+\alpha), \quad v_2 = (1+\alpha,\;1-\alpha).
Queremos saber para quais valores de \alpha esses dois vetores são linearmente dependentes (LD). Em \mathbb{R}^2, dois vetores são LD se, e somente se, o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas for zero.

Passo 2

Montamos a matriz cujas colunas são v_1 e v_2 e calculamos o determinante:
\det\begin{pmatrix} 1-\alpha & 1+\alpha \\[6pt] 1+\alpha & 1-\alpha \end{pmatrix} = (1-\alpha)(1-\alpha)\;-\;(1+\alpha)(1+\alpha).
Expandindo,
(1-\alpha)^2 - (1+\alpha)^2 = \bigl(1 - 2\alpha + \alpha^2\bigr)\;-\;\bigl(1 + 2\alpha + \alpha^2\bigr) = -4\alpha.]

Passo 3

Para que S seja LD, precisamos de
\det = -4\alpha = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 0.

Resposta

\alpha = 0

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