Decida se S é LI ou LD nos casos:
S=\left\{f_{1}, f_{2}, f_{3}\right\} \subset F, onde f_{1}(x)=1, f_{2}(x)=\cos ^{2} x e f_{3}(x)=\sin ^{2}(x).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto S=\{f_{1},f_{2},f_{3}\}\subset F, com
f_{1}(x)=1,\quad f_{2}(x)=\cos^{2}x,\quad f_{3}(x)=\sin^{2}x,
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Vamos usar a definição de dependência linear e a identidade pitagórica \cos^{2}x+\sin^{2}x=1.

Passo 2

Lembrando a definição, S é linearmente dependente se existem escalares \alpha,\beta,\gamma, não todos zero, tais que
\alpha\,f_{1}(x)+\beta\,f_{2}(x)+\gamma\,f_{3}(x)=0
para todo x.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear temos
\alpha\,f_{1}(x)+\beta\,f_{2}(x)+\gamma\,f_{3}(x) =\alpha + \beta\cos^{2}x + \gamma\sin^{2}x.
Para que isso seja a função zero, deve valer
\alpha + \beta\cos^{2}x + \gamma\sin^{2}x \equiv 0.
Usamos então \cos^{2}x+\sin^{2}x=1.

Passo 4

Basta escolher
\alpha=-1,\quad \beta=1,\quad \gamma=1.
Com isso,
-1 + \cos^{2}x + \sin^{2}x = -1 + 1 = 0
para todo x, e \alpha,\beta,\gamma não são todos zero. Logo há combinação não trivial que anula as funções.

Resposta

S é linearmente dependente.

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