Para quais valores de
existe
:
.
Passo 1
O enunciado define
e pergunta para quais
em
existe
. O conteúdo é diferenciabilidade em um subconjunto denso (os racionais) e vamos usar a definição de derivada como limite do quociente incremental restrito a pontos racionais.
Passo 2
Pela definição,
existe se
existe finito. Começamos calculando o quociente para
em
.
Passo 3
Para
temos
Usamos a fatoração por conjugado:
Passo 4
Logo
Quando
com
, o denominador tende a
. Portanto, se
, isto é,
, o limite existe e vale
Passo 5
Falta verificar
. Nesse caso
e ao deixar
em
isso tende a
, não existindo derivada finita em
.
Resposta
e nesse caso