Para quais valores de c existe f^{\prime}\text{(c)} :
f: \mathbb{Q} \cap[0, \pi] \rightarrow \mathbb{Q} ; f(x)=3-\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado define
f\colon \mathbb{Q}\cap[0,\pi]\to\mathbb{Q},\quad f(x)=3-\sqrt{x},
e pergunta para quais c em \mathbb{Q}\cap[0,\pi] existe f'\text{(c)}. O conteúdo é diferenciabilidade em um subconjunto denso (os racionais) e vamos usar a definição de derivada como limite do quociente incremental restrito a pontos racionais.

Passo 2

Pela definição, f'\text{(c)} existe se
\lim_{\substack{x\to c\x\in\mathbb{Q}}}\frac{f(x)-f\text{(c)}}{x-c}
existe finito. Começamos calculando o quociente para x\neq c em \mathbb{Q}.

Passo 3

Para x\neq c temos
\frac{f(x)-f\text{(c)}}{x-c} =\frac{\bigl(3-\sqrt{x}\bigr)-\bigl(3-\sqrt{c}\bigr)}{x-c} =-\frac{\sqrt{x}-\sqrt{c}}{x-c}.
Usamos a fatoração por conjugado:
-\frac{\sqrt{x}-\sqrt{c}}{x-c} =-\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{c})(\sqrt{x}+\sqrt{c})}{(x-c)(\sqrt{x}+\sqrt{c})} =-\frac{x-c}{(x-c)(\sqrt{x}+\sqrt{c})} =-\frac1{\sqrt{x}+\sqrt{c}}.

Passo 4

Logo
\frac{f(x)-f\text{(c)}}{x-c}=-\frac1{\sqrt{x}+\sqrt{c}}.
Quando x\to c com x\in\mathbb{Q}, o denominador tende a 2\sqrt{c}. Portanto, se \sqrt{c}\neq0, isto é, c\neq0, o limite existe e vale
f'\text{(c)}=\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f\text{(c)}}{x-c} =-\frac1{2\sqrt{c}}.

Passo 5

Falta verificar c=0. Nesse caso
\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =-\frac{\sqrt{x}-0}{x} =-\frac1{\sqrt{x}},
e ao deixar x\to0^+ em \mathbb{Q}\cap[0,\pi] isso tende a -\infty, não existindo derivada finita em 0.

Resposta

f'\text{(c)} existe exatamente para
c\in(\,0,\pi\,)\,\cap\,\mathbb{Q},
e nesse caso
f'\text{(c)}=-\frac1{2\sqrt{c}}.

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