Para quais valores de c existe f^{\prime}\text{(c)} :
f:\{0,1,1 / 2,1 / 3,1 / 4,1 / 5, \ldots\} \rightarrow \mathbb{R} ; f(x)=\left\{\begin{array}{l}x \operatorname{sen}(1 / x), \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, \text { se } x=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define
f:\{0,1,\tfrac12,\tfrac13,\tfrac14,\dots\}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\begin{cases} x\sin\bigl(\tfrac1x\bigr),&x\neq0,\\\\ 0,&x=0. \end{cases}
Pede-se para quais c nesse domínio existe
f'\text{(c)}=\lim_{\substack{x\to c\x\neq c}}\frac{f(x)-f\text{(c)}}{x-c}.
Vamos usar a definição de derivada em domínios gerais e observar dois casos: pontos isolados c=1/n e o ponto de acumulação c=0.

Passo 2

Considere um ponto c=\tfrac1n com n\in\mathbb{N}. Esse ponto é isolado no domínio, pois existe \delta>0 tal que não há x\neq c no domínio com |x-c|<\delta.
Pela definição de limite, para qualquer candidato L e qualquer \varepsilon>0 basta escolher \delta menor que a distância para o próximo ponto do domínio, de modo que não haja x\neq c com 0<|x-c|<\delta.
Logo a condição
\biggl|\frac{f(x)-f\text{(c)}}{x-c}-L\biggr|<\varepsilon
é satisfeita vacuamente, e portanto o limite existe.
Conclusão: em todo ponto isolado c=\tfrac1n, f'\text{(c)} existe (embora não seja geometricamente significativo).

Passo 3

Agora em c=0, que é ponto de acumulação do domínio, calculamos
f'(0)=\lim_{\substack{x\to0\x\neq0}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to0} \frac{x\sin(1/x)}{x} =\lim_{x\to0}\sin\bigl(\tfrac1x\bigr).
Tomando a sub-sequência x_k=1/k, obtemos
\sin\bigl(\tfrac1{x_k}\bigr)=\sin(k),
que não converge quando k\to\infty (oscila entre -1 e 1).
Logo o limite não existe e f'(0) não existe.

Resposta

f'\text{(c)} existe exatamente para
c=\frac1n,\quad n\in\mathbb{N},
e não existe em c=0.

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