Para quais valores de c existe f^{\prime}\text{(c)} : f:\{0,1,1 / 2,1 / 3,1 / 4,1 / 5, \ldots\} \rightarrow \mathbb{R} ; f(x)=\left\{\begin{array}{l}x \operatorname{sen}(1 / x), \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, \text { se } x=0\end{array}\right.
Vamos usar a definição de derivada em domínios gerais e observar dois casos: pontos isolados c=1/n e o ponto de acumulação c=0.
Passo 2
Considere um ponto c=\tfrac1n com n\in\mathbb{N}. Esse ponto é isolado no domínio, pois existe \delta>0 tal que não há x\neq c no domínio com |x-c|<\delta.
Pela definição de limite, para qualquer candidato L e qualquer \varepsilon>0 basta escolher \delta menor que a distância para o próximo ponto do domínio, de modo que não haja x\neq c com 0<|x-c|<\delta.
Logo a condição
é satisfeita vacuamente, e portanto o limite existe.
Conclusão: em todo ponto isolado c=\tfrac1n, f'\text{(c)} existe (embora não seja geometricamente significativo).
Passo 3
Agora em c=0, que é ponto de acumulação do domínio, calculamos