Para quais valores de c existe f^{\prime}\text{(c)} :
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; f(x)=\frac{|x|}{x}

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos c em que a derivada de
f(x)=\frac{|x|}{x}
existe. O conteúdo envolve derivação de função definida por partes (valor absoluto) e análise de derivada em pontos de descontinuidade ou canto.

Passo 2

Reescrevemos f(x) como função por partes. Para x>0 vale \lvert x\rvert = x e para x<0 vale \lvert x\rvert = -x. Logo,
f(x)= \begin{cases} 1, & x>0,\\\\ -1, & x<0. \end{cases}

Passo 3

Em cada intervalo aberto a função é constante. A derivada de uma constante é zero. Portanto, para qualquer c>0 ou c<0,
f'\text{(c)}=0.

Passo 4

No ponto x=0 a função não está nem definida (pois daria 0/0) nem contínua (os limites laterais são +1 e -1). Logo não faz sentido falar em derivada em x=0.

Resposta

A derivada existe para todos os c\neq 0 (e nesses pontos vale f'\text{(c)}=0).

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