Para quais valores de c existe f^{\prime}\text{(c)} : f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, \text { se } x \text { é racional } \\\\ 1, \text { se } x \text { é irracional }\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado define a função de Dirichlet
f(x)= \begin{cases} 0,&\text{se \(x\) é racional},\\ 1,&\text{se \(x\) é irracional}, \end{cases}éé
e pergunta para quais c\in\mathbb{R} existe f'\text{(c)}.
Conteúdo usado: derivabilidade implica continuidade e estudo de limites oscilantes.
Passo 2
Mostramos que f é descontínua em todo c. Dado qualquer c e qualquer \delta>0, no intervalo (c-\delta,c+\delta) há números racionais e irracionais. Assim
\lim_{x\to c}f(x)
não existe pois as aproximações por racionais tendem a 0 e as por irracionais tendem a 1. Logo f não é contínua em c.
Passo 3
Sabemos que, se f fosse diferenciável em c, então f seria contínua em c. Como f é descontínua em todo ponto de \mathbb{R}, não pode ser diferenciável em nenhum ponto.
Resposta
Não existe nenhum c\in\mathbb{R} tal que f'\text{(c)} exista.