Para quais valores de c existe f^{\prime}\text{(c)} :
f:\{0,1,1 / 2,1 / 3,1 / 4,1 / 5, \ldots\} \rightarrow \mathbb{R} ; f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \operatorname{sen}(1 / x), \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, \text { se } x=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define
f:\{0,1,1/2,1/3,1/4,\dots\}\to\mathbb R, \quad f(x)=\begin{cases} x^2\operatorname{sen}\bigl(1/x\bigr),&x\neq0,\\\\ 0,&x=0. \end{cases}
Queremos saber para quais c o limite
f'\text{(c)}=\lim_{\substack{x\to c\x\neq c}} \frac{f(x)-f\text{(c)}}{x-c}
existe. Vamos usar a definição de derivada em domínios com pontos isolados e em pontos de acumulação.

Passo 2

Seja c=1/n com n\in\mathbb N. Observe que o domínio de f é discreto em torno de c: existem vizinhanças de raio
\delta=\min\Bigl\{\bigl|1/n - 1/(n+1)\bigr|,\;\bigl|1/n - 1/(n-1)\bigr|\Bigr\}>0
que contêm apenas o ponto x=c. Numa vizinhança assim não há x\neq c para aproximar c, logo a condição
0<|x-c|<\delta \implies \left|\frac{f(x)-f\text{(c)}}{x-c}-L\right|<\varepsilon
é satisfeita vacuamente para qualquer L. Como o limite teria de ser único, concluímos que não há valor de L bem-definido — portanto f'\text{(c)} não existe para c>0.

Passo 3

O único ponto de acumulação do domínio é c=0. Calculemos
f'(0)=\lim_{\substack{x\to0\x\neq0}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to0} \frac{x^2\operatorname{sen}(1/x)}{x} =\lim_{x\to0} x\,\operatorname{sen}\bigl(1/x\bigr).
Como \bigl|\operatorname{sen}(1/x)\bigr|\le1, temos
\bigl|x\,\operatorname{sen}(1/x)\bigr|\le|x| \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to0}x\,\operatorname{sen}(1/x)=0.
Logo f'(0) existe e vale 0.

Resposta

A derivada existe somente em c=0, e f'(0)=0.

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