- Para quais valores iniciais o método de Newton convergirá se a função
for
?
Passo 1
O enunciado pede: “Para quais valores iniciais o método de Newton convergirá” quando a função é
.
Informações dadas e pontos importantes a anotar (sem resolver ainda):
- A função é
. - A questão quer saber, dado um chute inicial
, para quais a sequência gerada pelo método de Newton converge (presumivelmente para uma raiz de ). - É necessário lembrar que o método de Newton aplica a iteração
sempre que . - Há que analisar as raízes de
e o comportamento dinâmico da iteração resultante.
Passo 2
Primeiro identifico as raízes de
(valores onde
). Resolver
:
Logo a única raiz real é
.
Agora calculo
(vai entrar na fórmula de Newton). Usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto
Observação importante:
. Isso significa que, se alguém tentar aplicar a fórmula de Newton exatamente em
, a expressão
seria indefinida. Porém, se
já estamos na raiz (não é necessário iterar).
Passo 3
Escrevo a iteração de Newton explicitamente substituindo
e
:
Faço as frações:
Logo a iteração simplifica para a forma fechada
Defino a função de iteração (mapa de Newton)
por
A sequência gerada por Newton é
.
Passo 4
Procuro os pontos fixos de
, que correspondem às raízes atraídas pela iteração:
resolver :
resolver
Se
já é solução. Se
posso dividir por
e obter
não há solução real além de
. Portanto o único ponto fixo real é
(a raiz que queremos).
Passo 5
Análise da convergência local em
. Calculo
:
Em
temos
Como
, o ponto fixo
é atrator local para o mapa
. Isso significa que, para chutes iniciais suficientemente próximos de
, a iteração converge para
. O fator
também nos diz que a convergência é linear com razão assintótica
(isto ocorre porque
tem raiz de multiplicidade
em
, e Newton perde a convergência quadrática habitual).
Passo 6
Mostro um intervalo onde a convergência é global (dentro desse intervalo qualquer
converge). Para
temos
, então
Assim, para todo
com
vale
, ou seja, o módulo diminui pelo menos pela metade a cada iteração; portanto toda sequência com
converge rapidamente para
. Em particular
.
Passo 7
Procuro agora o conjunto máximo (em termos de módulo) de pontos iniciais que são atraídos para
. Uma condição simples é exigir que a magnitude diminua já na primeira iteração:
Para
podemos dividir por
e obter
Isto é equivalente a
Portanto, para qualquer
com
vale
: o módulo estritamente diminui. Isso mostra que a sequência
é estritamente decrescente enquanto permanecer
. Como é uma sequência positiva e decrescente, converge para algum limite
que deve satisfazer
, o que força
(a outra possibilidade levaria a
, impossível). Logo, para qualquer
com
a sequência
converge para
.
Passo 8
Análise dos casos limite e fora do intervalo.
- Se
então
e então
. Assim
entra num ciclo de período
:
. Não há convergência neste caso.
- Se
então, pela mesma avaliação da função para , obtemos . Ou seja, o módulo aumenta. Para grandes vale e portanto a sequência de módulos cresce rapidamente para infinito; a sequência diverge em módulo (e alterna de sinal porque quando ).
Passo 9
Resumo intuitivo e observações finais didáticas (rápida recapitulação para usar na prova):
- A iteração de Newton para essa função reduz-se ao mapa explícito
. - O único ponto fixo real é
, e este é atrator local com razão linear . - Para
o módulo diminui monotonicamente até , logo a iteração converge para a raiz . - Para
há um ciclo de período e não há convergência. - Para
a iteração diverge (o módulo tende a ).
Resposta
O método de Newton converge para a raiz
para todo
com
.
Se
há um ciclo de período
(
), sem convergência.
Se
a sequência diverge em módulo.