1. Para quais valores iniciais o método de Newton convergirá se a função f for f(x)=x^{2} /\left(1+x^{2}\right) ?

Passo 1

O enunciado pede: “Para quais valores iniciais o método de Newton convergirá” quando a função é f(x)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}.
Informações dadas e pontos importantes a anotar (sem resolver ainda):
  • A função é f(x)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}.
  • A questão quer saber, dado um chute inicial x_{0}, para quais x_{0} a sequência gerada pelo método de Newton converge (presumivelmente para uma raiz de f).
  • É necessário lembrar que o método de Newton aplica a iteração x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} sempre que f'(x_{n})\neq0.
  • Há que analisar as raízes de f e o comportamento dinâmico da iteração resultante.

Passo 2

Primeiro identifico as raízes de f (valores onde f(x)=0). Resolver f(x)=0:
\frac{x^{2}}{1+x^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.
Logo a única raiz real é x=0.
Agora calculo f'(x) (vai entrar na fórmula de Newton). Usando a regra do quociente:
f(x)=\frac{x^{2}}{1+x^{2}},\qquad f'(x)=\frac{(2x)(1+x^{2}) - x^{2}(2x)}{(1+x^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
(2x)(1+x^{2}) - x^{2}(2x)=2x+2x^{3}-2x^{3}=2x.
Portanto
f'(x)=\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}.
Observação importante: f'(0)=0. Isso significa que, se alguém tentar aplicar a fórmula de Newton exatamente em x_{n}=0, a expressão f(x_{n})/f'(x_{n}) seria indefinida. Porém, se x_{0}=0 já estamos na raiz (não é necessário iterar).

Passo 3

Escrevo a iteração de Newton explicitamente substituindo f e f':
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} = x_{n}-\frac{\dfrac{x_{n}^{2}}{1+x_{n}^{2}}}{\dfrac{2x_{n}}{(1+x_{n}^{2})^{2}}}.
Faço as frações:
\frac{\dfrac{x_{n}^{2}}{1+x_{n}^{2}}}{\dfrac{2x_{n}}{(1+x_{n}^{2})^{2}}} = \frac{x_{n}^{2}}{1+x_{n}^{2}}\cdot\frac{(1+x_{n}^{2})^{2}}{2x_{n}} = \frac{x_{n}(1+x_{n}^{2})}{2}.
Logo a iteração simplifica para a forma fechada
x_{n+1}=\;x_{n}-\frac{x_{n}(1+x_{n}^{2})}{2} =\frac{x_{n}(1-x_{n}^{2})}{2}.
Defino a função de iteração (mapa de Newton) g por
g(x)=\frac{x(1-x^{2})}{2}.
A sequência gerada por Newton é x_{n+1}=g(x_{n}).

Passo 4

Procuro os pontos fixos de g, que correspondem às raízes atraídas pela iteração:
resolver x=g(x):
x=\frac{x(1-x^{2})}{2}.
Se x=0 já é solução. Se x\neq0 posso dividir por x e obter
1=\frac{1-x^{2}}{2}\quad\Longrightarrow\quad 2=1-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=-1,
não há solução real além de x=0. Portanto o único ponto fixo real é x=0 (a raiz que queremos).

Passo 5

Análise da convergência local em x=0. Calculo g'(x):
g(x)=\frac{x-x^{3}}{2}\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\frac{1-3x^{2}}{2}.
Em x=0 temos
g'(0)=\frac{1}{2}.
Como \lvert g'(0)\rvert=\tfrac{1}{2}<1, o ponto fixo 0 é atrator local para o mapa g. Isso significa que, para chutes iniciais suficientemente próximos de 0, a iteração converge para 0. O fator g'(0)=\tfrac{1}{2} também nos diz que a convergência é linear com razão assintótica \tfrac{1}{2} (isto ocorre porque f tem raiz de multiplicidade 2 em 0, e Newton perde a convergência quadrática habitual).

Passo 6

Mostro um intervalo onde a convergência é global (dentro desse intervalo qualquer x_{0} converge). Para \lvert x\rvert\le 1 temos 1-x^{2}\ge0, então
\lvert g(x)\rvert=\frac{\lvert x\rvert(1-x^{2})}{2}\le\frac{\lvert x\rvert}{2}.
Assim, para todo x com \lvert x\rvert\le1 vale \lvert g(x)\rvert\le\lvert x\rvert/2, ou seja, o módulo diminui pelo menos pela metade a cada iteração; portanto toda sequência com x_{0}\in[-1,1] converge rapidamente para 0. Em particular g([-1,1])\subset[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}]\subset[-1,1].

Passo 7

Procuro agora o conjunto máximo (em termos de módulo) de pontos iniciais que são atraídos para 0. Uma condição simples é exigir que a magnitude diminua já na primeira iteração:
\lvert g(x)\rvert < \lvert x\rvert \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\lvert x\rvert\lvert 1-x^{2}\rvert}{2} < \lvert x\rvert.
Para \lvert x\rvert>0 podemos dividir por \lvert x\rvert e obter
\frac{\lvert 1-x^{2}\rvert}{2}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \lvert 1-x^{2}\rvert<2.
Isto é equivalente a
-2<1-x^{2}<2 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}<3 \quad\Longrightarrow\quad \lvert x\rvert<\sqrt{3}.
Portanto, para qualquer x com \lvert x\rvert<\sqrt{3} vale \lvert g(x)\rvert<\lvert x\rvert: o módulo estritamente diminui. Isso mostra que a sequência \lvert x_{n}\rvert é estritamente decrescente enquanto permanecer <\sqrt{3}. Como é uma sequência positiva e decrescente, converge para algum limite L\ge0 que deve satisfazer L=\dfrac{L\lvert 1-L^{2}\rvert}{2}, o que força L=0 (a outra possibilidade levaria a L^{2}=-1, impossível). Logo, para qualquer x_{0} com \lvert x_{0}\rvert<\sqrt{3} a sequência x_{n} converge para 0.

Passo 8

Análise dos casos limite e fora do intervalo.
  • Se \lvert x_{0}\rvert=\sqrt{3} então
g(\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}(1-3)}{2}=-\sqrt{3},
e então g(-\sqrt{3})=\sqrt{3}. Assim x_{n} entra num ciclo de período 2: \sqrt{3},-\sqrt{3},\sqrt{3},\dots. Não há convergência neste caso.
  • Se \lvert x_{0}\rvert>\sqrt{3} então, pela mesma avaliação da função \varphi(r)=\dfrac{r\lvert 1-r^{2}\rvert}{2} para r=\lvert x\rvert, obtemos \varphi(r)>r. Ou seja, o módulo aumenta. Para grandes r vale \varphi(r)\approx\tfrac{r^{3}}{2} e portanto a sequência de módulos cresce rapidamente para infinito; a sequência x_{n} diverge em módulo (e alterna de sinal porque 1-x^{2}<0 quando |x|>1).

Passo 9

Resumo intuitivo e observações finais didáticas (rápida recapitulação para usar na prova):
  • A iteração de Newton para essa função reduz-se ao mapa explícito g(x)=\dfrac{x(1-x^{2})}{2}.
  • O único ponto fixo real é 0, e este é atrator local com razão linear \lvert g'(0)\rvert=\tfrac{1}{2}.
  • Para \lvert x_{0}\rvert<\sqrt{3} o módulo \lvert x_{n}\rvert diminui monotonicamente até 0, logo a iteração converge para a raiz 0.
  • Para \lvert x_{0}\rvert=\sqrt{3} há um ciclo de período 2 e não há convergência.
  • Para \lvert x_{0}\rvert>\sqrt{3} a iteração diverge (o módulo tende a +\infty).

Resposta

O método de Newton converge para a raiz 0 para todo x_{0} com \lvert x_{0}\rvert<\sqrt{3}.
Se \lvert x_{0}\rvert=\sqrt{3} há um ciclo de período 2 ( \sqrt{3}\leftrightarrow -\sqrt{3}), sem convergência.
Se \lvert x_{0}\rvert>\sqrt{3} a sequência diverge em módulo.

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