1. Calcule um valor aproximado para 4^{3 / 4} usando uma iteração do método da Secante com x_{0}=3 e x_{1}=2.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede: calcular um valor aproximado para \,4^{3/4}\, usando uma iteração do método da Secante com \,x_{0}=3 e \,x_{1}=2.
  • Dados: \,x_{0}=3 e \,x_{1}=2.
  • Objetivo claro: aplicar exatamente UMA iteração do método da Secante (ou seja, calcular \,x_{2} a partir de \,x_{0} e \,x_{1}) e usar esse \,x_{2} como aproximação para \,4^{3/4}.

Passo 2

Transformar o problema de calcular \,4^{3/4} em um problema de raiz (isso é padrão quando usamos métodos como a Secante).
  • Observação algébrica: \,4^{3/4}=(4^{3})^{1/4}=64^{1/4}. Portanto o número buscado é a raiz real positiva da equação \,x^{4}=64.
  • Definimos a função cuja raiz queremos encontrar:
f(x)=x^{4}-64.
  • A raiz positiva de \,f(x)=0 é exatamente \,x=4^{3/4}. Assim, aplicar o método da Secante a \,f com os pontos iniciais dados vai nos fornecer uma aproximação para \,4^{3/4}.

Passo 3

Explicar o método da Secante de forma bem didática e dar a fórmula que vamos usar.
  • Ideia intuitiva: a Secante aproxima a curva y=f(x) por uma reta que passa pelos pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)). A interseção dessa reta com o eixo x é a próxima aproximação \,x_{n+1}.
  • Fórmula da Secante (fórmula que vamos usar):
x_{n+1}=x_n - f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
  • Explicando cada termo:
    • \,x_{n-1} e \,x_n são as duas últimas aproximações conhecidas.
    • \,f(x_{n-1}) e \,f(x_n) são os valores da função nesses pontos.
    • O quociente \dfrac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} é a “inversa da inclinação” da secante; multiplicado por \,f(x_n) dá o deslocamento em x até a interseção com o eixo x.

Passo 4

Calcular os valores de \,f nos pontos iniciais \,x_{0}=3 e \,x_{1}=2.
  • Calcular \,f(3):
f(3)=3^{4}-64=81-64=17.
  • Calcular \,f(2):
f(2)=2^{4}-64=16-64=-48.

Passo 5

Aplicar a fórmula da Secante para obter \,x_{2} (uma iteração a partir de \,x_{0} e \,x_{1}).
  • Usando \,n=1 na fórmula (ou seja, tomando \,x_{n-1}=x_{0}=3 e \,x_{n}=x_{1}=2):
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\,\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}.
  • Substituindo os valores que já calculamos:
x_{2}=2 - (-48)\,\frac{2-3}{-48-17}.
  • Simplificar passo a passo:
    • \,2-3=-1.
    • -48-17=-65.
    • (-48)\cdot(-1)=48.
    • Portanto o quociente é \dfrac{48}{-65}=-\dfrac{48}{65}.
  • Então
x_{2}=2 -\left(-\dfrac{48}{65}\right)=2+\dfrac{48}{65}.
  • Colocando em forma de fração única:
x_{2}=\dfrac{2\cdot65+48}{65}=\dfrac{130+48}{65}=\dfrac{178}{65}.
  • Valor decimal (aproximação):
\dfrac{178}{65}\approx 2,7384615385\ldots

Passo 6

Interpretação final e incentivo (rápido):
  • A aproximação obtida após UMA iteração da Secante com os pontos dados é \,x_{2}=\dfrac{178}{65}\approx 2,73846.
  • Para comparar, o valor exato é \,4^{3/4}=2^{3/2}=\sqrt{8}\approx2,82843; nossa iteração já está razoavelmente próxima (erro na casa de 0,09) — bom resultado para só uma iteração com pontos tão simples.
  • Se quiser uma aproximação mais precisa na prova, poderia fazer iterações adicionais da Secante ou usar o Método de Newton (se permitido), mas para o que foi pedido — uma iteração — o que fizemos é o procedimento correto.

Resposta

\dfrac{178}{65}\approx 2,7384615385

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