- Calcule um valor aproximado para
usando uma iteração do método da Secante com
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Pede: calcular um valor aproximado para
usando uma iteração do método da Secante com e . - Dados:
e . - Objetivo claro: aplicar exatamente UMA iteração do método da Secante (ou seja, calcular
a partir de e ) e usar esse como aproximação para .
Passo 2
Transformar o problema de calcular
em um problema de raiz (isso é padrão quando usamos métodos como a Secante).
- Observação algébrica:
. Portanto o número buscado é a raiz real positiva da equação . - Definimos a função cuja raiz queremos encontrar:
- A raiz positiva de
é exatamente . Assim, aplicar o método da Secante a com os pontos iniciais dados vai nos fornecer uma aproximação para .
Passo 3
Explicar o método da Secante de forma bem didática e dar a fórmula que vamos usar.
- Ideia intuitiva: a Secante aproxima a curva
por uma reta que passa pelos pontos e . A interseção dessa reta com o eixo é a próxima aproximação . - Fórmula da Secante (fórmula que vamos usar):
- Explicando cada termo:
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas. -
e são os valores da função nesses pontos. - O quociente
é a “inversa da inclinação” da secante; multiplicado por dá o deslocamento em até a interseção com o eixo .
-
Passo 4
Calcular os valores de
nos pontos iniciais
e
.
- Calcular
:
- Calcular
:
Passo 5
Aplicar a fórmula da Secante para obter
(uma iteração a partir de
e
).
- Usando
na fórmula (ou seja, tomando e ):
- Substituindo os valores que já calculamos:
- Simplificar passo a passo:
-
. -
. -
. - Portanto o quociente é
.
-
- Então
- Colocando em forma de fração única:
- Valor decimal (aproximação):
Passo 6
Interpretação final e incentivo (rápido):
- A aproximação obtida após UMA iteração da Secante com os pontos dados é
. - Para comparar, o valor exato é
; nossa iteração já está razoavelmente próxima (erro na casa de ) — bom resultado para só uma iteração com pontos tão simples. - Se quiser uma aproximação mais precisa na prova, poderia fazer iterações adicionais da Secante ou usar o Método de Newton (se permitido), mas para o que foi pedido — uma iteração — o que fizemos é o procedimento correto.