e o sistema é homogêneo (termos independentes todos iguais a zero). O que se pede é achar os valores de m para que o sistema tenha infinitas soluções (indeterminado).]
Passo 2
Entendendo o critério que vamos usar (explicação didática e simples).
Um sistema linear homogêneo sempre tem a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0).
Para ele ser indeterminado (ter infinitas soluções) é preciso que exista pelo menos uma solução não-trivial.
Para um sistema homogêneo com matriz quadrada 3\times3, isso ocorre exatamente quando a matriz de coeficientes tem determinante zero, pois aí o posto da matriz é menor que 3 e a dimensão do espaço de soluções é positiva.
Portanto basta calcular \det(A) e achar os valores de m que anulam esse determinante.
Passo 3
Escrevendo o determinante e explicando a operação escolhida. Vou expandir o determinante pela primeira linha (método de Laplace para 3\times3), porque é direto e fácil de executar à mão:
Interpretação imediata (com explicação): como o sistema é homogêneo, sempre existe a solução trivial. Para existir solução não-trivial (logo infinitas soluções), precisamos de \det(A)=0. Portanto os candidatos são m=-3 e m=2. Vou confirmar em cada caso que realmente existem infinitas soluções, encontrando a família de soluções (isso também é importante na prova: mostrar a dimensão do espaço de soluções).
Passo 7
Caso m=2\). Substituindo na matriz e resolvendo com eliminação (passo a passo para aprender a fazer na prova):
\[A_{m=2}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 1 & -1\\[4pt] -2 & -3 & -2 \end{pmatrix}.
Aplicando R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3+2R_1:
Repare que R_3=-\tfrac{9}{4}R_2, então há dependência linear entre linhas. Eliminando R_3 (por exemplo R_3\leftarrow R_3+\tfrac{9}{4}R_2) obtém-se linha nula e posto 2. As equações reduzem a
Da segunda: y=z\]. Substituindo na primeira: \(x-3z+3z=x=0. Tomando z=t, as soluções são
(x,y,z)=t\,(0,1,1),\quad t\in\mathbb{R},
ou seja, novamente infinitas soluções (uma reta). Portanto m=-3 também torna o sistema indeterminado.]
Passo 9
Resumo e conclusão final didática: os únicos valores de m que anulam o determinante são m=-3 e m=2; para cada um desses valores o posto da matriz é 2 (menor que 3) e o sistema homogêneo tem dimensão da solução igual a 1, ou seja, infinitas soluções parametrizadas por um parâmetro livre.