Para que valores de “m” o sistema de equações lineares homogêneo é indeterminado?
\left\{\begin{array}{c} x+m y+3 z=0 \\ x+y-z=0 \\ -2 x-3 y-m z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: "Para que valores de m o sistema homogêneo
\left\{\begin{array}{c} x+m y+3 z=0 \\\ x+y-z=0 \\\\ -2 x-3 y-m z=0 \end{array}\right.
é indeterminado?"
Informações dadas (coeficientes do sistema):
A=\begin{pmatrix} 1 & m & 3\\[4pt] 1 & 1 & -1\\[4pt] -2 & -3 & -m \end{pmatrix},
e o sistema é homogêneo (termos independentes todos iguais a zero). O que se pede é achar os valores de m para que o sistema tenha infinitas soluções (indeterminado).]

Passo 2

Entendendo o critério que vamos usar (explicação didática e simples).
  • Um sistema linear homogêneo sempre tem a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0).
  • Para ele ser indeterminado (ter infinitas soluções) é preciso que exista pelo menos uma solução não-trivial.
  • Para um sistema homogêneo com matriz quadrada 3\times3, isso ocorre exatamente quando a matriz de coeficientes tem determinante zero, pois aí o posto da matriz é menor que 3 e a dimensão do espaço de soluções é positiva.
    Portanto basta calcular \det(A) e achar os valores de m que anulam esse determinante.

Passo 3

Escrevendo o determinante e explicando a operação escolhida. Vou expandir o determinante pela primeira linha (método de Laplace para 3\times3), porque é direto e fácil de executar à mão:
\det(A)= \begin{vmatrix} 1 & m & 3\\[4pt] 1 & 1 & -1\\[4pt] -2 & -3 & -m \end{vmatrix}.]

Passo 4

Calculando o determinante passo a passo (cada menor em detalhe):
\det(A)=1\cdot \begin{vmatrix}1 & -1\\[4pt]-3 & -m\end{vmatrix} - m\cdot \begin{vmatrix}1 & -1\\[4pt]-2 & -m\end{vmatrix} + 3\cdot \begin{vmatrix}1 & 1\\[4pt]-2 & -3\end{vmatrix}.
Agora calculo cada menor:
\begin{vmatrix}1 & -1\\[4pt]-3 & -m\end{vmatrix}=1\cdot(-m)-(-1)\cdot(-3)=-m-3=-(m+3),
\begin{vmatrix}1 & -1\\[4pt]-2 & -m\end{vmatrix}=1\cdot(-m)-(-1)\cdot(-2)=-m-2=-(m+2),
\begin{vmatrix}1 & 1\\[4pt]-2 & -3\end{vmatrix}=1\cdot(-3)-1\cdot(-2)=-3+2=-1.]

Passo 5

Substituindo os menores na expressão do determinante e simplificando:
\det(A)=1\cdot\bigl(-(m+3)\bigr)-m\cdot\bigl(-(m+2)\bigr)+3\cdot(-1).
\det(A)=-(m+3)+m(m+2)-3.
\det(A)=m^2+2m-(m+3)-3=m^2+m-6.
Fatorei o polinômio:
\det(A)=m^2+m-6=(m+3)(m-2).
Logo \det(A)=0 quando m=-3 ou m=2.

Passo 6

Interpretação imediata (com explicação): como o sistema é homogêneo, sempre existe a solução trivial. Para existir solução não-trivial (logo infinitas soluções), precisamos de \det(A)=0. Portanto os candidatos são m=-3 e m=2. Vou confirmar em cada caso que realmente existem infinitas soluções, encontrando a família de soluções (isso também é importante na prova: mostrar a dimensão do espaço de soluções).

Passo 7

Caso m=2\). Substituindo na matriz e resolvendo com eliminação (passo a passo para aprender a fazer na prova): \[A_{m=2}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 1 & -1\\[4pt] -2 & -3 & -2 \end{pmatrix}.
Aplicando R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3+2R_1:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & -1 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Observa-se R_3= -1\cdot R_2, então R_3 é dependente e obtemos uma linha nula se fizermos R_3\leftarrow R_3+R_2:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & -1 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
As equações equivalentes são
\begin{cases} x+2y+3z=0,\\[4pt] -\,y-4z=0. \end{cases}
Da segunda: y=-4z\]. Substituindo na primeira: \(x+2(-4z)+3z=x-5z=0\Rightarrow x=5z. Tomando z=t parâmetro, as soluções são
(x,y,z)=t\,(5,-4,1),\quad t\in\mathbb{R},
ou seja, infinitas soluções (reta de soluções). Portanto m=2 torna o sistema indeterminado.]

Passo 8

Caso m=-3\). Substituindo na matriz e resolvendo: \[A_{m=-3}=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 3\\[4pt] 1 & 1 & -1\\[4pt] -2 & -3 & 3 \end{pmatrix}.
Faço R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3+2R_1:
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 3\\[4pt] 0 & 4 & -4\\[4pt] 0 & -9 & 9 \end{pmatrix}.
Repare que R_3=-\tfrac{9}{4}R_2, então há dependência linear entre linhas. Eliminando R_3 (por exemplo R_3\leftarrow R_3+\tfrac{9}{4}R_2) obtém-se linha nula e posto 2. As equações reduzem a
\begin{cases} x-3y+3z=0,\\[4pt] 4y-4z=0. \end{cases}
Da segunda: y=z\]. Substituindo na primeira: \(x-3z+3z=x=0. Tomando z=t, as soluções são
(x,y,z)=t\,(0,1,1),\quad t\in\mathbb{R},
ou seja, novamente infinitas soluções (uma reta). Portanto m=-3 também torna o sistema indeterminado.]

Passo 9

Resumo e conclusão final didática: os únicos valores de m que anulam o determinante são m=-3 e m=2; para cada um desses valores o posto da matriz é 2 (menor que 3) e o sistema homogêneo tem dimensão da solução igual a 1, ou seja, infinitas soluções parametrizadas por um parâmetro livre.

Resposta

m=-3
m=2

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