Resolva e classifique o sistema homogêneo \left\{\begin{array}{c}x+y-z=0 \\\\ 2 x+3 y+z=0 \\\\ -3 x+5 y+2 z=0\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede para resolver e classificar o sistema homogêneo cujas equações são:
\begin{cases} x+y-z=0,\\[4pt] 2x+3y+z=0,\\[4pt] -3x+5y+2z=0.
O que é solicitado:
  • encontrar todas as soluções (x,y,z) que satisfazem o sistema;
  • classificar o sistema (ou seja, dizer se tem única solução, infinitas soluções, qual o posto da matriz, etc.).]

Passo 2

Estratégia escolhida: usar eliminação por linhas (eliminação de Gauss) para reduzir o sistema e achar as variáveis passo a passo. Observação importante sobre sistemas homogêneos: por serem da forma A\mathbf{x}=\mathbf{0}, eles são sempre compatíveis (a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0} sempre existe). A pergunta de classificação é decidir se existe apenas essa solução trivial ou se há soluções não triviais (infinitas). Para isso vamos calcular o posto da matriz de coeficientes; se o posto for 3 (número de incógnitas), a única solução é a trivial.

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada (já que é homogêneo, a coluna de termos independentes é zero):
\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 2 & 3 & 1 & 0\\[4pt] -3 & 5 & 2 & 0 \end{array} \right].
Agora aplicamos operações elementares nas linhas para triangularizar.]

Passo 4

Eliminações:
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha: R_2\leftarrow R_2-2R_1.
  • Somar 3 vezes a primeira linha à terceira linha: R_3\leftarrow R_3+3R_1.
Aplicando isso obtemos
\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 8 & -1 & 0 \end{array} \right].]

Passo 5

Continuamos eliminando abaixo do pivô da segunda linha:
  • Subtrair 8 vezes a segunda linha da terceira linha: R_3\leftarrow R_3-8R_2.
Isso dá
\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -25 & 0 \end{array} \right].
Agora a matriz está em forma triangular superior. Observe que todas as três linhas são não nulas, então o posto da matriz de coeficientes é 3.]

Passo 6

Resolvendo por substituição a partir da última equação:
  • A terceira linha corresponde a -25z=0. Logo
z=0.
  • A segunda linha corresponde a y+3z=0. Substituindo z=0
y=0.
  • A primeira linha corresponde a x+y-z=0. Substituindo y=0 e z=0
x=0.
Portanto (x,y,z)=(0,0,0).

Passo 7

Verificação alternativa (rápida): o determinante da matriz de coeficientes é
\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[4pt] 2 & 3 & 1\\[4pt] -3 & 5 & 2 \end{pmatrix}=-25\neq0,
o que confirma que a matriz é invertível, o posto é 3 e a única solução do sistema homogêneo é a solução trivial.]

Passo 8

Interpretação final e classificação: como o posto da matriz de coeficientes é igual ao número de incógnitas ( 3), o espaço nulo tem dimensão 3-3=0 e não existem soluções não triviais. Logo o sistema é homogêneo, determinado, e tem única solução trivial.

Resposta

x=0,\; y=0,\; z=0
Sistema homogêneo com única solução (trivial); posto 3 ( \det=-25\neq0 ).

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