Para quais valores de
as curvas
e
não possuem interseção?
Passo 1
O enunciado pede os valores de
tais que as curvas
e
não se intersectam. Ou seja, queremos que a equação
não tenha solução em
. Para resolver, vamos usar transformação para logaritmo natural, estudo de limites e análise de máximo de uma função.
Passo 2
Reescrevendo em termos de logaritmo natural, seja
. Então
e a equação vira
Definimos
e buscamos zeros de
para
.
Passo 3
Analisamos os limites de
:
- Quando , temos
e
, logo
- Quando
- Quando
, o termo
domina:
• Se , então
e assim
.
• Se , então
e
.
• Se
• Se
Para
há mudança de sinal em
, garantindo sempre uma única raiz. Para
,
tende a
nas duas extremidades, podendo ter 0, 1 ou 2 raízes dependendo do valor máximo.
Passo 4
Para
, encontramos o ponto crítico resolvendo
:
Esse ponto é um máximo local, pois
para
e
para
.
Passo 5
Calculamos o valor máximo
Para haver ao menos uma interseção, precisamos de
, isto é,
Logo, quando
, temos
e
para todo
, ou seja, não há interseção.
Resposta
As curvas não se intersectam exatamente para