Para quais valores de \mathbf{k} as curvas \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{kx} e \mathrm{g}(\mathrm{x})=\log _{2024} \mathbf{x} não possuem interseção?

Passo 1

O enunciado pede os valores de k tais que as curvas
f(x)=k\,x
e
g(x)=\log_{2024}(x)
não se intersectam. Ou seja, queremos que a equação
k\,x = \log_{2024}(x)
não tenha solução em x>0. Para resolver, vamos usar transformação para logaritmo natural, estudo de limites e análise de máximo de uma função.

Passo 2

Reescrevendo em termos de logaritmo natural, seja a = \ln(2024). Então
\log_{2024}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(2024)}=\frac{\ln(x)}{a}
e a equação vira
k\,x = \frac{\ln(x)}{a} \quad\Longleftrightarrow\quad \ln(x) = a\,k\,x.
Definimos
F(x) = \ln(x) - a\,k\,x,
e buscamos zeros de F(x) para x>0.

Passo 3

Analisamos os limites de F(x):
- Quando x\to0^+, temos \ln(x)\to-\infty e -a k x\to0, logo
F(0^+) = -\infty.
- Quando x\to+\infty, o termo -a k x domina:
• Se k>0, então -a k x\to -\infty e assim F(+\infty)=-\infty.
• Se k<0, então -a k x\to +\infty e F(+\infty)=+\infty.
Para k<0 há mudança de sinal em F, garantindo sempre uma única raiz. Para k>0, F tende a -\infty nas duas extremidades, podendo ter 0, 1 ou 2 raízes dependendo do valor máximo.

Passo 4

Para k>0, encontramos o ponto crítico resolvendo F'(x)=0:
F'(x)=\frac{1}{x}-a\,k=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{a\,k}.
Esse ponto é um máximo local, pois F'(x)>0 para x<1/(a k) e F'(x)<0 para x>1/(a k).

Passo 5

Calculamos o valor máximo
F_{\max}=F\!\Bigl(\tfrac{1}{a k}\Bigr) =\ln\!\Bigl(\tfrac{1}{a k}\Bigr)-a\,k\cdot\frac{1}{a k} =-\ln(a k)\;-\;1.
Para haver ao menos uma interseção, precisamos de F_{\max}\ge0, isto é,
-\ln(a k)-1\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad \ln(a k)\le -1 \quad\Longleftrightarrow\quad a\,k\le e^{-1} \quad\Longleftrightarrow\quad k\le \frac{1}{e\,a} =\frac{1}{e\,\ln(2024)}.
Logo, quando k>1/(e\ln(2024)), temos F_{\max}<0 e F(x)<0 para todo x>0, ou seja, não há interseção.

Resposta

As curvas não se intersectam exatamente para
k > \frac{1}{e\,\ln(2024)}.

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