Para quais valores de c as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & c\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & c\end{pmatrix}
e pede para quais valores de c ela é diagonalizável. O conteúdo de matéria envolvido é “autovalores, autovetores e critério de diagonalização”: lembramos que uma matriz é diagonalizável se, e somente se, para cada autovalor a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) coincide com a multiplicidade algébrica, ou equivalentemente se há n autovetores linearmente independentes no caso n\times n.

Passo 2

Vamos achar os autovalores de A. Como A é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal:
\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = c.
A multiplicidade algébrica de \lambda_1 é 1, e a de \lambda_2 é 1, exceto no caso degenerate \lambda_1 = \lambda_2, isto é c=1, quando o autovalor 1 tem multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Se c \neq 1, então \lambda_1\neq \lambda_2 e a matriz A tem dois autovalores distintos. Nesse caso, os espaços próprios associados são cada um de dimensão 1, somando 2 autovetores independentes em \mathbb{R}^2. Portanto, quando c\neq 1, A é diagonalizável.

Passo 4

Se c = 1, então A = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix} e o único autovalor é 1 com multiplicidade algébrica 2. Calculamos o espaço próprio:
A - I = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
e a equação (A-I)x=0 impõe x_2=0, com x_1 livre. Logo o espaço próprio é
\bigl\{(x_1,0)\mid x_1\in\mathbb{R}\bigr\},
de dimensão 1, menor que a multiplicidade algébrica 2. Portanto, não há dois autovetores independentes e A não é diagonalizável quando c=1.

Resposta

A matriz A é diagonalizável se, e somente se, c \neq 1.

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