Para quais valores de c as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
A=\left(\begin{array}{ll}1 & c \\\\ 0 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para saber para quais valores de c a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & c \\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}
é diagonalizável.
Conteúdo: diagonalização de matrizes iguais de Jordan, autovalores e autovetores.]

Passo 2

Vamos primeiro achar os autovalores de A. Calculamos o polinômio característico:
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & c \\[3pt]0 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)^2.
Logo o único autovalor é \lambda=1, com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Para diagonalizar precisamos de dois autovetores linearmente independentes, ou seja, a multiplicidade geométrica deve ser 2. Vamos encontrar o espaço próprio de \lambda=1:
(A - I)v = \begin{pmatrix}0 & c \\[3pt]0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}
impõe c\,y=0.]

Passo 4

Se c\neq 0, então y=0 e x é livre, dando apenas um autovetor não-nulo. A multiplicidade geométrica seria 1<2 e A não se diagonaliza.
Se c=0, a condição some e tanto x quanto y são livres, formando um espaço próprio de dimensão 2. Assim há dois autovetores independentes e A é diagonalizável.

Resposta

A matriz A é diagonalizável somente para c=0.

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