Para que valores de k, t as matrizes dadas admitem inversa?
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\\\ 1 & 4 & 2 \\\\ 2 & 4 & k+5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 4 & 2\\\\ 2 & 4 & k+5 \end{pmatrix}
e pede para quais valores de k ela admite inversa. Lembrando que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for não nulo.

Passo 2

Vamos calcular \det(A) expandindo pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 2\\\ 4 & k+5\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 2 & k+5\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora,
\det\begin{pmatrix}4 & 2\\\ 4 & k+5\end{pmatrix} =4(k+5)-2\cdot4 =4k+20-8 =4k+12,
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 2 & k+5\end{pmatrix} =1\cdot(k+5)-2\cdot2 =k+5-4 =k+1.
Logo,
\det(A)=(4k+12)-2(k+1) =4k+12-2k-2 =2k+10.

Passo 3

Para que A seja invertível, é preciso ter
\det(A)\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2k+10\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad k\neq-5.

Resposta

A matriz A admite inversa se, e somente se,
k\neq-5.

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