Para quais valores de p o decodificador de maioria de dois em três tem maior probabilidade de transmitir corretamente que a transmissão de única tentativa?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem duas formas de transmitir uma informação:
  1. Transmissão Única: Enviar a informação uma vez.
  2. Decodificador de Maioria (2 em 3): Enviar a mesma informação três vezes e, depois, decidir pelo que a maioria recebeu.
Queremos descobrir para quais valores de (probabilidade de erro na transmissão) a segunda opção é melhor para garantir que a informação seja transmitida corretamente do que apenas enviar uma vez.
Vamos usar conceitos de probabilidade para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de sucesso em cada cenário.
  1. Transmissão Única:
    • Probabilidade de transmitir corretamente: .
  2. Decodificador de Maioria (2 em 3):
    • Aqui, a ideia é que mesmo que uma das três transmissões falhe, se as outras duas estiverem corretas, a informação será decodificada corretamente.
    • Para isso, precisamos calcular a probabilidade de pelo menos duas transmissões saírem certas.
Vamos detalhar isso.

Passo 3

Para o Decodificador de Maioria, temos três possíveis situações onde a informaç��o é transmitida corretamente:
  1. Exatamente duas transmissões corretas e uma errada.
  2. Todas as três transmissões corretas.
Vamos calcular a probabilidade de cada caso e somar.
  • Probabilidade de exatamente duas corretas:
    binom32 times (1 - p)^2 times p = 3 times (1 - p)^2 times p
  • Probabilidade de todas as três corretas:
    (1 - p)^3
Então, a probabilidade total de sucesso no decodificador de maioria é:
Pmaioria = 3(1 - p)^2 p + (1 - p)^3

Passo 4

Agora, queremos que a probabilidade de sucesso do decodificador de maioria seja maior que a da transmissão única. Então, estabelecemos a seguinte inequação:
3(1 - p)^2 p + (1 - p)^3 > 1 - p
Vamos resolver essa inequação para encontrar os valores de que satisfazem essa condição.

Passo 5

Vamos simplificar a inequação passo a passo:
  1. Primeiro, fatoramos (1 - p)^2 (3p) + (1 - p)^3 > 1 - p na parte esquerda:
    (1 - p)^2 (3p + (1 - p)) > 1 - p
  2. Podemos fatorar 3p + 1 - p = 2p + 1 na expressão completa:
    (1 - p)^2 (2p + 1) > 1 - p
  3. Simplificando dentro dos parênteses:
    (1 - p)(2p + 1) > 1
    Então:
    2p(1 - p) + 1(1 - p) > 1
  4. Dividimos ambos os lados por 2p - 2p^2 + 1 - p > 1 (considerando -2p^2 + p > 0 ):
    2p^2 - p < 0
  5. Distribuindo p(2p - 1) < 0 :
  6. Simplificando:
  7. Multiplicando ambos os lados por -1 (e invertendo a inequação):
  8. Fatorando:

Passo 6

Vamos resolver a inequação .
  1. Encontramos as raízes da equação :
  2. Dividimos a reta dos números em intervalos com base nas raízes:
  3. Testamos cada intervalo na inequação:
    • Para : negativo e negativo → resultado positivo (não satisfaz).
    • Para : positivo e negativo → resultado negativo (satisfaz).
    • Para : positivo e positivo → resultado positivo (não satisfaz).

Resposta

Portanto, o decodificador de maioria de dois em três tem maior probabilidade de transmitir corretamente que a transmissão de única tentativa quando a probabilidade de erro 0 < p < 12 está entre e . Em outras palavras, para todo valor de tal que:

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