Quais valores podem ser atribuídos a boldsymbol{k} nos sistemas a seguir para que a solução seja possível determinada ou indeterminada?
2. \left\{\begin{array}{cc}2 x+2 y+4 z & =3 \\\\ 3 x+3 y+6 z & =k \\\ x+y+2 z & =1,5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 2x+2y+4z=3,\\[4pt] 3x+3y+6z=k,\\[4pt] x+y+2z=1{,}5, \end{cases}
e pergunta para quais valores de k a solução é possível determinada (solução única) ou possível indeterminada (infinitas soluções).
Informações relevantes fornecidas:
  • As três equações lineares acima, com incógnitas x,y,z e parâmetro k.
  • O objetivo é classificar os valores de k conforme o tipo de solução do sistema.]

Passo 2

Vou usar a ideia padrão de sistemas lineares: escrever o sistema como A\mathbf{x}=\mathbf{b}, onde A é a matriz dos coeficientes e \mathbf{b} o vetor dos termos independentes, e aplicar o critério de posto (rank):
  • Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\,|\,\mathbf{b}])=n (número de incógnitas), o sistema tem solução única (possível determinada).
  • Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\,|\,\mathbf{b}])<n, o sistema tem infinitas soluções (possível indeterminada).
  • Se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A\,|\,\mathbf{b}]), o sistema é incompatible (sem solução).
Aqui n=3. Vou calcular o posto de A e o posto da matriz aumentada [A\,|\,\mathbf{b}].

Passo 3

Escrevendo a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada [A\,|\,\mathbf{b}]:
A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 4\\[4pt] 3 & 3 & 6\\[4pt] 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad [A\,|\,\mathbf{b}]= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 & 3\\[4pt] 3 & 3 & 6 & k\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 1{,}5 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Observo relações lineares entre as linhas de A. Multiplicando a primeira linha por 0{,}5 e por 1{,}5:
0{,}5\cdot(2,2,4)=(1,1,2) \quad\text{que é a 3ª linha},éª
1{,}5\cdot(2,2,4)=(3,3,6) \quad\text{que é a 2ª linha}.éª
Portanto as três linhas de A são múltiplos umas das outras; isso mostra que as três linhas são linearmente dependentes e que \operatorname{rank}(A)=1. Como consequência, \det(A)=0 e não pode haver solução única (pois para solução única precisaríamos \operatorname{rank}(A)=3).

Passo 5

Agora analiso a matriz aumentada [A\,|\,\mathbf{b}]. Verifico os mesmos múltiplos nas colunas de coeficientes e também nos termos independentes:
  • A terceira linha do bloco aumentado é 0{,}5 vezes a primeira linha porque 1{,}5=0{,}5\cdot 3.
  • A segunda linha do bloco aumentado será 1{,}5 vezes a primeira linha apenas se k=1{,}5\cdot 3=4{,}5.
Logo:
  • Se k=4{,}5, todas as três linhas da matriz aumentada são múltiplos da primeira, então \operatorname{rank}([A\,|\,\mathbf{b}])=1. Assim \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\,|\,\mathbf{b}])=1<3, e o sistema tem infinitas soluções (possível indeterminada).
  • Se k\neq 4{,}5, a segunda linha da matriz aumentada não é múltiplo da primeira; portanto \operatorname{rank}([A\,|\,\mathbf{b}])=2 enquanto \operatorname{rank}(A)=1. Assim \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A\,|\,\mathbf{b}]) e o sistema é incompatível (sem solução).
Portanto não existe valor de k que torne o sistema possível determinada (única solução).

Passo 6

Para reforçar a interpretação, escrevo a forma paramétrica quando k=4{,}5. Nesse caso a única equação independente é, por exemplo,
x+y+2z=1{,}5.
Posso escolher y e z como parâmetros livres, digamos y=t e z=s. Então
x=1{,}5-t-2s,
e todas as soluções são
(x,y,z)=\bigl(1{,}5-t-2s,\;t,\;s\bigr),\qquad t,s\in\mathbb{R},
confirmando que há infinitas soluções (grau de liberdade 2).

Resposta

Possível determinada: nenhum valor de k.
Possível indeterminada: k=\dfrac{9}{2}=4{,}5.

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