Quais valores podem ser atribuídos a boldsymbol{k} nos sistemas a seguir para que a solução seja possível determinada ou indeterminada?
3. \left\{\begin{array}{cc}3 x+2 y+4 z & =3 \\\ x+y+z & =k \\\\ 5 x+4 y+6 z & =15\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 3x+2y+4z=3,\\[4pt] x+y+z=k,\\[4pt] 5x+4y+6z=15, \end{cases}
e pergunta para quais valores de k a solução é (a) determinada (única) e (b) indeterminada (infinitas soluções).
Informações relevantes fornecidas:
  • As três equações lineares completas em x,y,z.
  • O parâmetro é k (aparece só na segunda equação).
    A partir daqui vamos investigar se o sistema tem solução única, infinita ou nenhuma, dependendo de k.]

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicados de forma prática):
  • Monta-se a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada [A|b].
  • Se \det(A)\neq0, o sistema tem solução única (porque a matriz é invertível).
  • Se \det(A)=0, a matriz de coeficientes é singular e então ou o sistema não tem solução (inconsistente) ou tem infinitas soluções; para distinguir isso compara-se o posto (rank) de A com o posto de [A|b]:
    • Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])= \text{número de incógnitas}úó então solução única.
    • Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])<\text{número de incógnitas}úó então infinitas soluções.
    • Se \operatorname{rank}([A|b])>\operatorname{rank}(A) então impossível (nenhuma solução).
  • Para decidir usamos redução por linhas (esquema de eliminação de Gauss), que consiste em aplicar operações elementares nas linhas para chegar a uma forma que mostra o posto e a consistência.

Passo 3

Construção da matriz dos coeficientes e cálculo do determinante para testar possibilidade de solução única.
Matriz dos coeficientes:
A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 5 & 4 & 6 \end{pmatrix}.
Calcula-se \det(A) por desenvolvimento (expansão):
\det(A) =3\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & 6\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]5 & 6\end{pmatrix} +4\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]5 & 4\end{pmatrix}.
Agora calculamos cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & 6\end{pmatrix}=1\cdot6-1\cdot4=2,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]5 & 6\end{pmatrix}=1\cdot6-1\cdot5=1,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]5 & 4\end{pmatrix}=1\cdot4-1\cdot5=-1.
Substituindo,
\det(A)=3\cdot2-2\cdot1+4\cdot(-1)=6-2-4=0.
Conclusão imediata: \det(A)=0. Logo NÃO existe solução única para nenhum valor de k. Precisamos agora checar consistência para ver se há infinitas soluções ou nenhuma.]

Passo 4

Montagem da matriz aumentada e aplicação de eliminação de Gauss para obter condição sobre k.
Matriz aumentada [A|b]:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 4 & 3\\[4pt] 1 & 1 & 1 & k\\[4pt] 5 & 4 & 6 & 15 \end{array}\right].
Para facilitar, troco a linha 1 com a linha 2 (colocar pivô 1 no topo):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & k\\[4pt] 3 & 2 & 4 & 3\\[4pt] 5 & 4 & 6 & 15 \end{array}\right].
Elimino abaixo do pivô na coluna 1:
  • R_2 \leftarrow R_2-3R_1:
R_2: \\ (3-3\cdot1,\\\ 2-3\cdot1,\\\ 4-3\cdot1,\\\ 3-3k)=(0,-1,1,\,3-3k).
  • R_3 \leftarrow R_3-5R_1:
R_3: \\ (5-5\cdot1,\\\ 4-5\cdot1,\\\ 6-5\cdot1,\\\ 15-5k)=(0,-1,1,\,15-5k).
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & k\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 3-3k\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 15-5k \end{array}\right].]

Passo 5

Comparação das linhas 2 e 3 para obter a condição de consistência.
As linhas 2 e 3 têm o mesmo vetor de coeficientes (0,-1,1). Subtraindo R_3-R_2 obtemos uma linha de zeros no lado dos coeficientes e uma condição no lado direito:
R_3-R_2:\quad (0,0,0,\\ (15-5k)-(3-3k))=(0,0,0,\\\ 12-2k).
Isso corresponde à equação
0x+0y+0z=12-2k,
ou seja 0=12-2k. Para que o sistema seja consistente (não ter uma equação 0= número não-nulo) precisamos que
12-2k=0\quad\Longrightarrow\quad k=6.
  • Se k\neq6 então 12-2k\neq0 e a última linha dá 0= número não-zero: sistema inconsistente (nenhuma solução).
  • Se k=6 então a última linha vira 0=0, e o posto da matriz de coeficientes e da aumentada coincide e é 2 (duas linhas independentes), menor que o número de incógnitas 3. Então há infinitas soluções (uma family com um parâmetro).

Passo 6

(Para reforçar: escrevo explicitamente a solução paramétrica quando k=6\), assim aprendes a construir a solução na prova.) Tomando \(k=6\), as equações reduzidas são: \[\begin{cases} x+y+z=6,\\[4pt] - y + z = 3-3\cdot6 = -15. \end{cases}
Da segunda: -y+z=-15 \Rightarrow z=y-15.\] Substituindo na primeira: \[x+y+(y-15)=6 \Rightarrow x+2y-15=6 \Rightarrow x=21-2y.\] Escolhendo um parâmetro \(t para y ( y=t), obtemos a família de soluções:
x=21-2t,\qquad y=t,\qquad z=t-15,
com t\in\mathbb{R}. Portanto infinitas soluções quando k=6.]

Resposta

Solução determinada (única): nenhum valor de k.
Solução indeterminada (infinitas soluções): k=6.

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