Quais valores podem ser atribuídos a boldsymbol{k} nos sistemas a seguir para que a solução seja possível determinada ou indeterminada?
3. \left\{\begin{array}{cc}3 x+2 y+4 z & =3 \\\ x+y+z & =k \\\\ 5 x+4 y+6 z & =15\end{array}\right.
e pergunta para quais valores de k a solução é (a) determinada (única) e (b) indeterminada (infinitas soluções).
Informações relevantes fornecidas:
As três equações lineares completas em x,y,z.
O parâmetro é k (aparece só na segunda equação).
A partir daqui vamos investigar se o sistema tem solução única, infinita ou nenhuma, dependendo de k.]
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicados de forma prática):
Monta-se a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada [A|b].
Se \det(A)\neq0, o sistema tem solução única (porque a matriz é invertível).
Se \det(A)=0, a matriz de coeficientes é singular e então ou o sistema não tem solução (inconsistente) ou tem infinitas soluções; para distinguir isso compara-se o posto (rank) de A com o posto de [A|b]:
Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])= \text{número de incógnitas}úó então solução única.
Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])<\text{número de incógnitas}úó então infinitas soluções.
Se \operatorname{rank}([A|b])>\operatorname{rank}(A) então impossível (nenhuma solução).
Para decidir usamos redução por linhas (esquema de eliminação de Gauss), que consiste em aplicar operações elementares nas linhas para chegar a uma forma que mostra o posto e a consistência.
Passo 3
Construção da matriz dos coeficientes e cálculo do determinante para testar possibilidade de solução única.
Matriz dos coeficientes:
Conclusão imediata: \det(A)=0. Logo NÃO existe solução única para nenhum valor de k. Precisamos agora checar consistência para ver se há infinitas soluções ou nenhuma.]
Passo 4
Montagem da matriz aumentada e aplicação de eliminação de Gauss para obter condição sobre k.
Matriz aumentada [A|b]:
Comparação das linhas 2 e 3 para obter a condição de consistência.
As linhas 2 e 3 têm o mesmo vetor de coeficientes (0,-1,1). Subtraindo R_3-R_2 obtemos uma linha de zeros no lado dos coeficientes e uma condição no lado direito:
ou seja 0=12-2k. Para que o sistema seja consistente (não ter uma equação 0= número não-nulo) precisamos que
12-2k=0\quad\Longrightarrow\quad k=6.
Se k\neq6 então 12-2k\neq0 e a última linha dá 0= número não-zero: sistema inconsistente (nenhuma solução).
Se k=6 então a última linha vira 0=0, e o posto da matriz de coeficientes e da aumentada coincide e é 2 (duas linhas independentes), menor que o número de incógnitas 3. Então há infinitas soluções (uma family com um parâmetro).
Passo 6
(Para reforçar: escrevo explicitamente a solução paramétrica quando k=6\), assim aprendes a construir a solução na prova.)
Tomando \(k=6\), as equações reduzidas são:
\[\begin{cases} x+y+z=6,\\[4pt] - y + z = 3-3\cdot6 = -15. \end{cases}
Da segunda: -y+z=-15 \Rightarrow z=y-15.\] Substituindo na primeira:
\[x+y+(y-15)=6 \Rightarrow x+2y-15=6 \Rightarrow x=21-2y.\]
Escolhendo um parâmetro \(t para y (y=t), obtemos a família de soluções:
x=21-2t,\qquad y=t,\qquad z=t-15,
com t\in\mathbb{R}. Portanto infinitas soluções quando k=6.]
Resposta
Solução determinada (única): nenhum valor de k.
Solução indeterminada (infinitas soluções): k=6.