Quais valores podem ser atribuídos a boldsymbol{k} nos sistemas a seguir para que a solução seja possível determinada ou indeterminada?
4. \left\{\begin{array}{cc}k x+2 y+3 z & =0 \\\\ 2 x+y-k z & =0 \\\ x+k y+4 z & =0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema homogêneo
\begin{cases} k x+2 y+3 z =0\\[4pt] 2 x+y-k z =0\\[4pt] x+k y+4 z =0 \end{cases}
e pergunta para quais valores de \,k a solução é possível determinada (solução única) ou possível indeterminada (infinitas soluções).
Informações relevantes: os coeficientes formam a matriz
A=\begin{pmatrix} k & 2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -k\\[4pt] 1 & k & 4 \end{pmatrix},
e o sistema é homogêneo (termos independentes todos iguais a 0).]
Passo 2
Regra-chave (explicando com calma): para um sistema homogêneo A\vec{x}=0 com A quadrada 3\times3,
se \det(A)\neq0 então a única solução é a trivial \vec{x}=\vec{0} (sistema determinado);
se \det(A)=0 então a matriz tem posto menor que 3 e o espaço solução tem dimensão \ge1, ou seja existem infinitas soluções (sistema indeterminado).
Não existe possibilidade de sistema homogêneo ser impossível (inconsistente), porque \vec{x}=\vec{0} é sempre solução.
Passo 3
Vamos calcular \det(A) passo a passo, usando a expansão pela primeira linha. Defina a função
Agora determinar quando f(k)=0. Temos a equação cúbica
k^{3}+8k-19=0.
Teste de raízes racionais possíveis (divisores de 19): \pm1,\pm19. Avaliando:
f(1)=1+8-19=-10,\qquad f(2)=8+16-19=5.
Como f(1)<0 e f(2)>0, pela continuidade existe uma raiz real em (1,2). Não há raízes racionais simples (1 e 19 não são raízes), então a raiz real é irracional. Essa raiz única real chamaremos de k_0. (Observação: um polinômio cúbico com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real; aqui há exatamente uma real porque o comportamento do polinômio mostra mudança de sinal apenas nessa faixa e os outros dois raízes são complexas conjugadas.)
Para obter uma aproximação numérica prática (útil na prova), podemos usar o método de Newton. Defina g(k)=k^{3}+8k-19 e g'(k)=3k^{2}+8. Escolha chute inicial k_{0}=1{,}7. Uma iteração de Newton dá
Fazendo mais uma iteração (opcional) obter-se-ia convergência rápida; com uma iteração já temos boa precisão prática. Assim a raiz real é aproximadamente
k_{0}\approx 1{,}729.
Passo 5
Interpretação final:
Se \det(A)=f(k)\neq0, isto é, para todo k real diferente da raiz real de k^{3}+8k-19, o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial \vec{x}=\vec{0} (possível determinada).
Se \det(A)=0, isto é, quando k é a raiz real de k^{3}+8k-19 (aproximadamente 1{,}729), a matriz tem posto menor que 3 e o sistema tem infinitas soluções não triviais (possível indeterminada).
Também vale observar que não existe valor de k que torne o sistema impossível (inconsistente), porque o sistema é homogêneo.
Resposta
Possível determinada: k\in\mathbb{R}\setminus\{k_0\}, onde k_0 é a raiz real da equação k^{3}+8k-19=0 (aprox. k_0\approx1{,}729).
Possível indeterminada: k=k_0, onde k_0 satisfaz k_0^{3}+8k_0-19=0 (aprox. k_0\approx1{,}729).