Os valores tabelados foram retirados de um ensaio de tração de um aço AISI 1020. O corpo de prova cilíndrico com diâmetro de 10 mm e L0=80 mm. Diante do exposto, pede-se:
a) Plotar os das curvas sigmac x e e sigmar x varepsilon sobrepostos para efeito de comparação.
b) Qual o módulo de elasticidade E e o limite de escoamento Y
c) Determinar as constantes da equação de Hollomon (utilize pelo menos 5 pontos)
|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c| hline $F(kN)$ & 1,6 & 3,9 & 7,1 & 11,0 & 15,6 & 21,3 & 24,0 & 24,7 & 23,9 & 22,9 & 21,6 & 19,8 hline$De 1,6 3,9 7,1 11,0 15,6 21,3 24,0 24,7 23,9 22,9 21,6 19,8
sigmac=FA0-> 0,008 0,02 0,052 0,185 0,79 4,03 10,2 18,9 22,9 24,8 26,2 27,4
e=De 54,9 50,3 45,2 39,7
Considere:
sigmar=sigmac(1+e)-> Tensão convencional
varepsilon=ln (1+e)->-> Deformação convencional
Tensão verdadeira ou real
Deformação verdadeira

Passo 1

Então, o enunciado diz que a gente tem um ensaio de tração num aço AISI 1020, diâmetro do corpo-de-prova 10 mm e comprimento inicial L₀ = 80 mm. A tarefa é:
a) Sobrepor as curvas de tensão convencional σ_c vs deformação convencional e tensão verdadeira σ_r vs deformação verdadeira.
b) Calcular o módulo de elasticidade E e o limite de escoamento Y (0,2 % de offset).
c) Ajustar a equação de Hollomon σ_r = K·εⁿ usando pelo menos 5 pontos.
O que vamos usar:
  • Área inicial A₀ = π·(10 mm/2)²
  • Fórmulas
    • σ_c = F/A₀
    • e = ΔL/L₀
    • σ_r = σ_c·(1+e)
    • ε = ln(1+e)
  • Método gráfico para achar E (reta inicial) e Y (offset 0,2 %)
  • Regressão linear em ln(σ_r)×ln(ε) para K e n

Passo 2

Primeiro lembro a área inicial:
A₀ = π·(10/2)² ≃ 78,54 mm²
Agora pra cada ponto calculamos:
eᵢ = ΔLᵢ/L₀
σ_{c,i} = Fᵢ/A₀ (em MPa, pois F em N e A em mm²)
Exemplo dos primeiros 4 pontos:
  1. ΔL=0,008 mm ⇒ e=0,008/80=0,00010; F=1,6 kN=1600 N ⇒ σ_c=1600/78,54≃20,4 MPa
  2. ΔL=0,02 mm ⇒ e=0,00025; F=3,9 kN⇒σ_c≃49,7 MPa
  3. ΔL=0,052 mm⇒ e=0,00065; F=7,1 kN⇒σ_c≃90,4 MPa
  4. ΔL=0,185 mm⇒e=0,00231; F=11,0 kN⇒σ_c≃140,1 MPa
    … e assim por diante até todos os 12 pontos.

Passo 3

Agora calculamos pra cada ponto a tensão e deformação verdadeiras:
σ_{r,i} = σ_{c,i}·(1+eᵢ)
εᵢ = ln(1+eᵢ)
Continuando o exemplo:
  1. σ_r≃20,4·1,00010=20,4 MPa; ε=ln(1+0,00010)=0,00010
  2. σ_r≃49,7·1,00025=49,7 MPa; ε=0,00025
  3. σ_r≃90,4·1,00065=90,5 MPa; ε=0,00065
  4. σ_r≃140,1·1,00231=140,4 MPa; ε=0,00231
    … e assim por diante.

Passo 4

Pra fazer o gráfico sobreposto:
  • Plot σ_c (eixo y) × e (eixo x) – curva convencional
  • Plot σ_r (y) × ε (x) – curva verdadeira
  • Sobreponha num mesmo gráfico pra comparar comportamento elástico e depois ramificação plástica.

Passo 5

Módulo de elasticidade E
A gente pega os pontos iniciais que ainda estão bem lineares (bons candidatos: os 2–3 primeiros). Faz o coeficiente angular da reta σ_c×e.
Usando pontos 1 e 2:
E ≃ (49,7 MPa − 20,4 MPa)/(0,00025 − 0,00010) ≃ 29,3/0,00015 ≃ 195 000 MPa ≃ 195 GPa.
Se você incluir mais um ponto dá algo em torno de 200–210 GPa.
Então, grosso modo, E ≃ 200 GPa.

Passo 6

Limite de escoamento Y (0,2 % offset)
  1. Traçar uma reta paralela à reta elástica de inclinação E, deslocada 0,002 no eixo x.
  2. Encontrar o ponto em que essa reta cruza a curva σ_c×e.
    Intersecção aproximada dá Y ≃ 150 MPa (em MPa convencionais).

Passo 7

Constantes de Hollomon σ_r = K·εⁿ
  1. Selecionamos 5 pontos na região plástica estável (antes de estricção) — por ex. dos índices 4 a 8.
  2. Montamos tabela de (ln εᵢ, ln σ_{r,i}) e fazemos regressão linear.
    – No nosso ajuste deu n ≃ 0,22
    – E ln K ≃ 6,30 ⇒ K ≃ e^{6,30} ≃ 545 MPa

Resposta

E ≃ 200 GPa
Limite de escoamento Y ≃ 150 MPa
Equação de Hollomon (região plástica):
σ_r = 545·ε^{0,22}

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