Vapor saturado a 68,9 \mathrm{KPa} ( 10 psia ) é condensado em um tubo vertical de 0,305 \mathrm{~m} longo tendo diâmetro externo de 0,0254 \mathrm{~m} e a temperatura da superfície era 86,11^{\circ} \mathrm{C}\left(187^{\circ} \mathrm{F}\right). Calcule o coeficiente de T.C. médio usando unidades no SI.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo claramente):
  • Pressão do vapor saturado: p=68,9\\ \mathrm{kPa}.
  • Tubo vertical com comprimento L=0,305\\ \mathrm{m} e diâmetro externo D_o=0,0254\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura da superfície do tubo: T_w=86,11^\circ\mathrm{C}.
  • O vapor é condensado no tubo (portanto T_{sat}>T_w) e pede-se o coeficiente médio de transferência de calor convectiva por convecção de condensação em unidades SI, isto é \bar{h} em \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
Resumo do pedido: calcular \bar{h} médio para o escoamento de filme de condensação externo no tubo vertical, usando os dados numéricos acima.

Passo 2

Escolha do método e teoria usada (aula rápida e didática)
  • Quando vapor saturado condensa formando um filme laminar em uma superfície vertical, a teoria clássica é a teoria de Nusselt para condensação por filme. Ela assume filme laminar, espessura relativamente fina, e balanço entre gravidade e viscosidade no filme; a transferência de calor é controlada pela condução através do filme mais do que pela convecção no vapor.
  • Para uma superfície vertical plana, a expressão para o coeficiente médio de transferência de calor segundo Nusselt é (forma clássica, média sobre o comprimento L):
\bar{h}=0,943\left(\frac{k_l^{3}\,\rho_l\,(\rho_l-\rho_v)\,g\,h_{fg}}{\mu_l\,L\,(T_{sat}-T_w)}\right)^{1/4}.
Explicando cada símbolo (muito importante):
  • \bar{h}: coeficiente médio de transferência de calor (W·m{-2}·K{-1}) — o que queremos.
  • k_l: condutividade térmica do líquido condensado (W·m{-1}·K{-1}).
  • \rho_l: densidade do líquido saturado (kg·m^{-3}).
  • \rho_v: densidade do vapor saturado (kg·m^{-3}).
  • g: aceleração da gravidade ( 9,81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}).
  • h_{fg}: calor latente de vaporização (J·kg^{-1}).
  • \mu_l: viscosidade dinâmica do líquido (Pa·s).
  • L: comprimento vertical sobre o qual se faz a média (m).
  • T_{sat}: temperatura de saturação correspondente a p (K ou °C).
  • T_w: temperatura da superfície (K ou °C).
    Observações didáticas: a dependência em (\cdot)^{1/4} mostra que \bar{h} varia fraco com as propriedades e com L e \Delta T; quanto menor \Delta T=T_{sat}-T_w, maior tende a ser \bar{h} porque para a mesma energia a película precisa ser mais fina (maior gradiente).

Passo 3

Determinar T_{sat} e propriedades do fluido (onde buscar e valores usados)
  • Primeiro, obter T_{sat} para p=68,9\\ \mathrm{kPa}. Consultando tabelas de vapor d’água (tabelas de saturação), a pressão 68,9\\ \mathrm{kPa} corresponde aproximadamente a T_{sat}\approx90^\circ\mathrm{C}. (Uso prático: esta é a temperatura de saturação associada à pressão fornecida; é importante confirmar em tabela na prova, mas aqui adotamos 90^\circ\mathrm{C} como valor representativo — ele satisfaz T_{sat}>T_w, já que 90^\circ\mathrm{C}>86,11^\circ\mathrm{C}.)
  • A partir de T_{sat}=90^\circ\mathrm{C} tomam‑se propriedades do líquido saturado (valores retirados de tabelas/propriedades da água líquida saturada a 90^\circ\mathrm{C}). Valores adotados (aproximações típicas de tabela):
    • k_l = 0,679\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.
    • \rho_l = 965\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
    • \mu_l = 3,20\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\,s}.
    • h_{fg} = 2,31\times10^{6}\\ \mathrm{J\,kg^{-1}}.
  • Para a densidade do vapor saturado \rho_v é aceitável, e prático para cálculo rápido, usar a equação do gás ideal para vapor saturado (aproximação razoável a essa pressão):
\rho_v=\frac{p}{R\,T_{sat}},
onde p=68,9\\ \mathrm{kPa}=6,895\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}, R=461,5\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}} (constante específica do vapor d’água) e T_{sat}=90^\circ\mathrm{C}=363,15\\ \mathrm{K}. Calculando:
\rho_v=\frac{6,895\times10^{4}}{461,5\cdot 363,15}\approx 0,412\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
  • Calcular a diferença de temperatura:
\Delta T=T_{sat}-T_w=90,00-86,11=3,89\\ \mathrm{K}.
(Obs.: todos os números acima foram retirados/estimados a partir de tabelas de propriedades da água e da equação dos gases para a fase vapor; em prova use as tabelas que o professor disponibilizar.)

Passo 4

Substituir na fórmula de Nusselt e calcular passo a passo
  • Primeiro a expressão a usar (repetindo):
\bar{h}=0,943\left(\frac{k_l^{3}\,\rho_l\,(\rho_l-\rho_v)\,g\,h_{fg}}{\mu_l\,L\,\Delta T}\right)^{1/4}.
  • Calcular k_l^{3}:
k_l^{3}=(0,679)^{3}=0,313\\ (\text{unidades } \mathrm{W^{3}\,m^{-3}\,K^{-3}}).
  • Calcular \rho_l(\rho_l-\rho_v):
\rho_l(\rho_l-\rho_v)=965\cdot(965-0,412)=965\cdot 964,588\approx 9,30827\times10^{5}\\ \mathrm{kg^{2}\,m^{-6}}.
  • Multiplicando por g e h_{fg}:
\rho_l(\rho_l-\rho_v)\,g\,h_{fg}\approx 9,30827\times10^{5}\cdot 9,81\cdot 2,31\times10^{6} \approx 2,1103\times10^{13}.
  • Multiplicando por k_l^{3}:
k_l^{3}\,\rho_l(\rho_l-\rho_v)\,g\,h_{fg}\approx 0,313\cdot 2,1103\times10^{13}\approx 6,60\times10^{12}.
  • Agora o denominador \mu_l\,L\,\Delta T:
\mu_l\,L\,\Delta T=3,20\times10^{-4}\cdot 0,305\cdot 3,89\approx 3,80\times10^{-4}.
  • Dividindo:
\frac{k_l^{3}\,\rho_l(\rho_l-\rho_v)\,g\,h_{fg}}{\mu_l\,L\,\Delta T}\approx \frac{6,60\times10^{12}}{3,80\times10^{-4}}\approx 1,737\times10^{16}.
  • Tomando a raiz quarta:
\left(1,737\times10^{16}\right)^{1/4}=(1,737)^{1/4}\times(10^{16})^{1/4}\approx 1,148\times10^{4}=1,148\times10^{4}.
  • Finalmente multiplicando pela constante 0,943:
\bar{h}\approx 0,943\cdot 1,148\times10^{4}\approx 1,08\times10^{4}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.

Passo 5

Interpretação e observações finais (didática e dicas para prova)
  • Resultado: \bar{h} da ordem de 10^{4}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}. Isso é razoável para condensação em filme com \Delta T pequeno: pequena \Delta T implica filme fino e gradiente grande, logo h alto.
  • Erros e sensibilidade: o resultado depende das propriedades do líquido e de T_{sat}. Em prova, busque os valores nas tabelas e calcule \rho_v consistentemente; pequenas variações nas propriedades dão variações moderadas no resultado por conta do expoente 1/4.
  • Observação física: usei a fórmula de Nusselt para superfície vertical. Para um tubo vertical fino (comprimento muito maior que a circunferência) essa aproximação é normalmente aceita. Se o enunciado pedisse consideração do contorno circular (efeitos de curvatura) haveria fatores de correção, mas para D_o\ll L a fórmula clássica é adequada.

Resposta

\bar{h}\approx 1,08\times10^{4}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}

Exercícios relacionados