A superfície externa de um tubo vertical com 1 m de comprimento e 80 mm de diâmetro externo está exposta a vapor de água saturado à pressão atmosférica (1 atm). Essa superfície externa é mantida a 34^{\circ} \mathrm{C} pelo escoamento de água fria no interior do tubo.
a) Qual a taxa de transferência de calor para o fluido refrigerante?
b) Qual é a taxa de condensação do vapor para a superfície em kg/s?
OBS: Pode-se usar valores aproximados das propriedades na tabela para diferenças até 5^{\circ} \mathrm{C}. Dados: \mu_{1}=0,4293.10^{-3} \mathrm{~Pa} . \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) a taxa de transferência de calor da superfície externa do tubo para o fluido refrigerante (ou seja, a potência térmica Q em watts);
  • (b) a taxa de condensação do vapor sobre a superfície em kg/s ( \dot{m}).
Dados fornecidos e valores que extraí do enunciado:
  • comprimento do tubo: L=1{,}00\\ \mathrm{m}.
  • diâmetro externo do tubo: D=80\\ \mathrm{mm}=0{,}080\\ \mathrm{m}.
  • temperatura da superfície externa do tubo: T_w=34^{\circ}\mathrm{C}.
  • vapor saturado à pressão atmosférica: p_{sat}=1\\ \mathrm{atm} ⇒ temperatura de saturação T_{sat}=100^{\circ}\mathrm{C} (valor da tabela).
  • viscosidade dinâmica do líquido (fornecida): \mu_{l}=0{,}4293\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Observação: para completar a resolução preciso usar propriedades do líquido saturado (água líquida) e do vapor saturado a 100^{\circ}\mathrm{C}. Vou adotar valores-padrão de tabela (aproximações aceitáveis para diferenças até 5^{\circ}\mathrm{C}):
  • densidade do líquido: \rho_{l}=958{,}4\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • densidade do vapor: \rho_{v}=0{,}597\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • condutividade térmica do líquido: k_{l}=0{,}679\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • calor latente de vaporização: h_{fg}=2{,}257\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}.
  • aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Vou assumir o regime típico de condensação em filme (filmwise condensation) formando uma camada líquida delgada sobre a superfície vertical do tubo — isso é coerente quando a superfície está muito mais fria que o vapor saturado.

Passo 2

Qual método vou usar e por que:
  • Para condensação em filme laminar sobre superfícies verticais existe a solução clássica de Nusselt que relaciona a taxa de calor com propriedades do líquido, com a diferença de temperatura \Delta T=T_{sat}-T_w e com a geometria (comprimento característico).
  • A solução de Nusselt para uma placa vertical dá a taxa de calor por unidade de largura; para um cilindro vertical de raio grande em relação à espessura do filme pode-se aplicar a fórmula da placa por “enrolar” a largura igual à circunferência do tubo (isso é aceitável quando a espessura do filme é muito menor que o raio). Vou usar essa aproximação e depois checar a hipótese de filme fino.
Agora vou explicar a fórmula que uso (didaticamente) e cada variável.

Passo 3

A solução de Nusselt para condensação laminar de filme sobre uma placa vertical de altura L (taxa total de calor por unidade de largura) é, em forma prática:
Q' = 0{,}943\left(\frac{k_{l}^{3}\,\rho_{l}\,(\rho_{l}-\rho_{v})\,g\,h_{fg}}{\mu_{l}\,L}\right)^{1/4}\,(T_{sat}-T_{w})^{4/3}.
Explicando cada termo:
  • Q' é a taxa de calor por unidade de largura (unidades \mathrm{W/m}). Para uma placa de largura 1\\ \mathrm{m}, Q' seria a potência total; para um tubo depois multiplicamos por sua circunferência.
  • k_{l} é a condutividade térmica do líquido ( \mathrm{W/(m\cdot K)}).
  • \rho_{l} e \rho_{v} são as densidades do líquido e do vapor ( \mathrm{kg/m^3}).
  • g é a gravidade ( \mathrm{m/s^2}).
  • h_{fg} é o calor latente ( \mathrm{J/kg}).
  • \mu_{l} é a viscosidade dinâmica do líquido ( \mathrm{Pa\cdot s}).
  • L é a altura (comprimento vertical) sobre a qual se condensa ( \mathrm{m}).
  • (T_{sat}-T_{w})=\Delta T é a diferença de temperatura que impulsiona a transferência de calor.
Comentário físico rápido: a expressão resulta do balanço entre o arrasto viscoso do filme (que depende de \mu_l), o peso do filme ( \rho_l g), a condução térmica através do filme ( k_l) e o transporte de calor latente ( h_{fg}). O expoente 4/3 em \Delta T aparece da combinação dessas relações (não é preciso derivar aqui em detalhe, mas a origem é do equilíbrio entre condução térmica e o balanço hidrodinâmico do filme).
Para aplicar ao tubo vertical de diâmetro D e comprimento L, trato a superfície cilíndrica como uma placa de “largura” igual à circunferência do tubo:
\text{circunferência } W = \pi D.ê
A potência total no tubo (comprimento L) será então:
Q = Q'\times W.
E a taxa de condensação em massa vem da conservação de energia (todo o calor removido do vapor é usado na condensação, negligenciando sub-resfriamento):
\dot{m}=\frac{Q}{h_{fg}}.

Passo 4

Primeiro calculo a circunferência do tubo:
W=\pi D=\pi(0{,}080\\ \mathrm{m})=0{,}251327\\ \mathrm{m}.
A diferença de temperatura:
\Delta T = T_{sat}-T_{w}=100^{\circ}\mathrm{C}-34^{\circ}\mathrm{C}=66\\ \mathrm{K}.
Agora monto o termo dentro do quarto radical da fórmula de Nusselt:
A=\frac{k_{l}^{3}\,\rho_{l}\,(\rho_{l}-\rho_{v})\,g\,h_{fg}}{\mu_{l}\,L}.
Substituindo os valores (todos em unidades SI):
k_{l}=0{,}679,\quad \rho_{l}=958{,}4,\quad \rho_{v}=0{,}597,\quad g=9{,}81,\quad h_{fg}=2{,}257\times10^{6},
\mu_{l}=0{,}4293\times10^{-3},\quad L=1{,}00.
Calculo passo a passo (arredondando razoavelmente nas operações intermediárias):
k_{l}^{3}=0{,}679^{3}\approx0{,}313.
\rho_{l}(\rho_{l}-\rho_{v})=958{,}4\,(958{,}4-0{,}597)=958{,}4\times957{,}803\approx9{,}17955\times10^{5}.
(\rho_{l}(\rho_{l}-\rho_{v}))\,g \approx 9{,}17955\times10^{5}\times9{,}81 \approx 9{,}005{,}143\times10^{0}.
(\cdots)\times h_{fg}\approx 9{,}005{,}143\times2{,}257\times10^{6}\approx2{,}0334\times10^{13}.
k_{l}^{3}\times(\cdots)\approx 0{,}313\times2{,}0334\times10^{13}\approx6{,}364\times10^{12}.
A=\frac{6{,}364\times10^{12}}{0{,}4293\times10^{-3}\times1}\approx\frac{6{,}364\times10^{12}}{4{,}293\times10^{-4}}\approx1{,}4827\times10^{16}.
Agora a raiz quarta:
A^{1/4}\approx(1{,}4827\times10^{16})^{1/4}\approx1{,}103\times10^{4}.
Em seguida cálculo Q' (por unidade de largura):
Q' = 0{,}943\,A^{1/4}\,(\Delta T)^{4/3}.
Calculo de (\Delta T)^{4/3}:
(\Delta T)^{4/3}=66^{4/3}\approx266{,}67.
Portanto:
Q'\approx0{,}943\times1{,}103\times10^{4}\times266{,}67\approx2{,}773\times10^{6}\\ \mathrm{W/m}.

Passo 5

Multiplico pela circunferência W para obter a potência total do tubo de comprimento L:
Q = Q'\times W \approx2{,}773\times10^{6}\\ \mathrm{W/m}\times0{,}251327\\ \mathrm{m}\approx6{,}967\times10^{5}\\ \mathrm{W}.
Agora a taxa de condensação em massa:
\dot{m}=\frac{Q}{h_{fg}}=\frac{6{,}967\times10^{5}}{2{,}257\times10^{6}}\\ \mathrm{kg/s}\approx0{,}3086\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 6

Uma verificação simples é estimar a espessura média do filme usando a aproximação q''\approx k_{l}\Delta T/\delta, onde q'' é o fluxo de calor por unidade de área (média):
q''=\frac{Q}{W\,L}=\frac{6{,}967\times10^{5}}{0{,}251327\times1}\approx2{,}772\times10^{6}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
\delta\approx\frac{k_{l}\Delta T}{q''}=\frac{0{,}679\times66}{2{,}772\times10^{6}}\approx1{,}62\times10^{-5}\\ \mathrm{m}\approx16{,}2\\ \mu\mathrm{m}.
Comparando com o raio do tubo R=D/2=0{,}040\\ \mathrm{m}, temos \delta\ll R. Logo a aproximação de placa (filme fino enrolado na circunferência) é válida e o regime laminar de filme também é consistente (filme muito fino). Isso dá confiança nos resultados numéricos.

Resposta

Q\approx6{,}97\times10^{5}\\ \mathrm{W}
\dot{m}\approx0{,}309\\ \mathrm{kg/s}

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