Uma vareta pesada de massa M e comprimento L, pode girar sem atrito em torno de um eixo fixo horizontal que passa pelo ponto A (perpendicular à vareta). Inicialmente a varetá está em repouso, verticalmente. Uma bala de massa m=M / 10 passa através da vareta, nuḿ intervalo de tempo curtíssimo, na sua extremidade inferior (ponto de impacto a distância L de A). Antes da colisão a velocidade da bala év e após é v / 2.
Determine a velocidade angular w imediatamente depois que a bala passou pela vareta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma vareta de massa $ M $ e comprimento $ L $ que pode girar sem atrito em torno de um eixo fixo horizontal no ponto A. Inicialmente, a vareta está parada na posição vertical. Uma bala de massa $ m = \frac{M}{10} $ passa pela extremidade inferior da vareta com velocidade $ v $ antes da colisão e $ \frac{v}{2} $ depois. Queremos descobrir a velocidade angular $ \omega $ da vareta imediatamente após a bala passar por ela.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular. Vamos passo a passo para não complicar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para uma vareta rígida de comprimento $ L $ e massa $ M $ girando em uma das extremidades, o momento de inércia $ I $ é dado por:
L
Isso vai ser importante para calcular como a vareta reage ao impacto da bala.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre momento angular. É basicamente o “poder giratório” de um objeto e depende tanto do momento de inércia quanto da velocidade angular. A fórmula para o momento angular $ L $ é:
L
Antes da bala colidir com a vareta, a vareta está em repouso, então seu momento angular inicial é zero. Só o momento angular da bala precisa ser considerado antes da colisão.

Passo 4

Vamos calcular o momento angular da bala antes da colisão. A bala está se movendo com velocidade $ v $ e impacta a vareta a uma distância $ L $ do ponto de rotação A. O momento angular $ L_{bala} $ é:
v
Onde $ m = \frac{M}{10} $.

Passo 5

Após a colisão, a bala continua movendo-se, mas com velocidade reduzida para $ \frac{v}{2} $. Então, o momento angular da bala após a colisão é:
v2
Além disso, a vareta começa a girar com velocidade angular $ \omega $, então seu momento angular após a colisão é:
L'bala = m ( v2 ) L = m v L2

Passo 6

Devido à conservação do momento angular, o momento angular total antes da colisão deve ser igual ao momento angular total após a colisão. Assim:
Linicial = Lfinal
Ou seja:
m v L = m v L2 + 13 ML^2 omega

Passo 7

Vamos substituir $ m = \frac{M}{10} $ na equação:
m = M10
Simplificando:
M10 v L = M10 v L2 + 13 ML^2 omega

Passo 8

Vamos resolver para $ \omega $. Primeiro, subtraia $ \frac{M v L}{20} $ de ambos os lados:
omega
Simplificando o lado esquerdo:
M v L20

Passo 9

Agora, isole $ \omega $:
omega

Resposta

A velocidade angular $ \omega $ imediatamente após a bala passar pela vareta é:
omega

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