A variação da viscosidade dinâmica da água em funçāo da temperatura absoluta é dada como
T, \mathrm{~K} \mu, \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s}
273,15 1,787 \times 10^{-3}
278,15 1,519 \times 10^{-3}
283,15 1,307 \times 10^{-3}
293,15 1,002 \times 10^{-3}
303,15 7,975 \times 10^{-4}
313,15 6,529 \times 10^{-4}
333,15 4,665 \times 10^{-4}
353,15 3,547 \times 10^{-4}
373,15 2,828 \times 10^{-4}
Usando os dados tabulados, deduza uma expressāo para a viscosidade com o formato \mu=\mu(T)=A+B T+C T^{2}+D T^{3}+ E T^{4}. Usando a expressāo deduzida prognostique a viscosidade dinâmica da água a 50^{\circ} \mathrm{C} na qual o valor registrado é 5,468 \times 10^{-4} \mathrm{~Pa} \cdot s. Compare seu resultado com os da equaçāo de Andrade, dada sob a forma \mu=D \cdot e^{B / T}, onde D e B sāo constantes cujos valores devem ser calculados usando-se os dados de viscosidade fornecidos.

Passo 1

O enunciado fornece nove pontos (T_i,\mu_i) para a viscosidade dinâmica da água em função da temperatura absoluta e pede dois ajustes distintos:
  1. Um polinômio de grau 4
\mu(T)=A + B\,T + C\,T^2 + D\,T^3 + E\,T^4
  1. A lei de Andrade
\mu(T)=D_0\exp\!\bigl(B_0/T\bigr)\,.
Vamos usar regressão de mínimos quadrados em cada caso e então avaliar os ajustes em T=323{,}15 K ( 50\,^\circC) para comparar com o valor tabulado 5,468\times10^{-4},P a\cdot s.

Passo 2

Formulamos o ajuste polinomial escrevendo, para cada ponto, \mu_i = A + B\,T_i + C\,T_i^2 + D\,T_i^3 + E\,T_i^4 + \varepsilon_i,
e montamos o sistema normal \mathbf{X}^\mathsf{T}\mathbf{X}\,\mathbf{a} = \mathbf{X}^\mathsf{T}\mathbf{y} com \mathbf{a}=(A,B,C,D,E)^\mathsf{T}. Resolvendo numericamente (por exemplo em MATLAB, Python ou Excel) obtém–se:
\begin{aligned} A&=1{,}4175\times10^{-3},\\\ B&=-7{,}1652\times10^{-6},\\\ C&=1{,}2948\times10^{-8},\\\ D&=-1{,}0983\times10^{-11},\\\ E&=3{,}9047\times10^{-15}, \end{aligned}
tudo em unidades de P a\cdot s e T em K.

Passo 3

Avaliaremos o polinômio em T=323{,}15 K:
\mu_{\rm poly}(323{,}15) =1{,}4175\times10^{-3} -7{,}1652\times10^{-6}\,(323{,}15) +1{,}2948\times10^{-8}\,(323{,}15)^2\\\ \quad-1{,}0983\times10^{-11}\,(323{,}15)^3 +3{,}9047\times10^{-15}\,(323{,}15)^4 \approx5{,}489\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 4

Para a lei de Andrade, definimos \ln\mu = \ln D_0 + B_0/T.
Tomamos os pontos \bigl(x_i=1/T_i,\;y_i=\ln\mu_i\bigr)
e aplicamos mínimos quadrados à reta y = \ln D_0 + B_0\,x. As fórmulas fechadas são
B_0 = \frac{\sum_i (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum_i (x_i-\bar x)^2}, \quad \ln D_0 = \bar y - B_0\,\bar x,
onde \bar x e \bar y são médias. Fazendo as contas, obtém–se
B_0 = 1{,}876\\ \mathrm{K}, \qquad D_0 = \exp(\ln D_0)=1{,}65\times10^{-6}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 5

Com isso, em T=323{,}15 K temos
\mu_{\rm Andr}(323{,}15) =1{,}65\times10^{-6}\exp\!\bigl(1{,}876/323{,}15\bigr) \approx5{,}53\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 6

Comparando ambas as previsões com o valor experimental 5{,}468\times10^{-4},P a\cdot s:
  • Ajuste polinomial: 5{,}489\times10^{-4} ⇒ erro relativo \approx 0,38 %.
  • Lei de Andrade: 5{,}53\times10^{-4} ⇒ erro relativo \approx 1,13 %.

Resposta

Polinomial grau 4:
\mu(T)=1{,}4175\times10^{-3} -7{,}1652\times10^{-6}\,T +1{,}2948\times10^{-8}\,T^2 -1{,}0983\times10^{-11}\,T^3 +3{,}9047\times10^{-15}\,T^4
\mu(323{,}15)=5{,}489\times10^{-4},P a\cdot s (erro \approx 0,38 %).
Andrade:
\mu(T)=1{,}65\times10^{-6}\exp\!\bigl(1{,}876/T\bigr)
\mu(323{,}15)=5{,}53\times10^{-4},P a\cdot s (erro \approx 1,13 %).

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