9ạQuestão: Admitindo que a água do mar tem sua densidade descrita pela seguinte equação de estado, \rho=\rho_{0}\left[\left(P-P_{a t m}\right) / \beta\right], onde \beta é o fator de compressibilidade, determine a pressão e a densidade em um ponto a 30.000 ft abaixo do nível do mar. Considere que \beta=300.000 \mathrm{psi}.

Passo 1

O enunciado descreve a estática dos fluidos compressíveis aplicando-se ao mar, cuja densidade varia com a pressão segundo a equação de estado
\rho = \rho_{0}\Bigl[1 + \frac{P - P_{\text{atm}}}{\beta}\Bigr]
O que queremos é a pressão P e a densidade \rho num ponto a H=30\,000 ft abaixo da superfície. Para isso, precisaremos
  1. Escrever a equação diferencial da estática: \dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = \rho(P)\,g.
  2. Substituir \rho(P) da equação de estado.
  3. Integrar de z=0 (superfície) até z=H.
  4. Calcular P(H) e então \rho(H).

Passo 2

A equação de equilíbrio hidrostático é
\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = \rho\,g
e a equação de estado é
\rho = \rho_{0}\Bigl[1 + \frac{P - P_{\text{atm}}}{\beta}\Bigr].
Juntando-as,
\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = \rho_{0}\Bigl[1 + \frac{P - P_{\text{atm}}}{\beta}\Bigr]g.

Passo 3

Faça u = P - P_{\text{atm}}. Então \mathrm{d}P = \mathrm{d}u e a equação vira
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}z} = \rho_{0}\,g\Bigl[1 + \frac{u}{\beta}\Bigr].
Separe as variáveis:
\frac{\mathrm{d}u}{1 + u/\beta} = \rho_{0}\,g\,\mathrm{d}z.
Integre de u=0 (superfície) a u=u_H (profundidade H):
\int_{0}^{u_H}\frac{\mathrm{d}u}{1 + u/\beta} = \int_{0}^{H}\rho_{0}\,g\,\mathrm{d}z.
No lado esquerdo, use 1+u/\beta=(\beta+u)/\beta:
\beta\ln\!\Bigl(1 + \frac{u_H}{\beta}\Bigr) = \rho_{0}\,g\,H.
Logo
1 + \frac{u_H}{\beta} = \exp\!\Bigl(\frac{\rho_{0}\,g\,H}{\beta}\Bigr), \quad u_H = \beta\Bigl[e^{\,\rho_{0}gH/\beta}-1\Bigr].

Passo 4

Agora atribuímos valores numéricos (unidades em sistema inglês): \rho_{0}=62,4 lbm/f t^{3}, g=32,2 ft/ s^{2} e \beta=300\,000 psi.
1 psi =144 lbf/f t^{2}, então
\beta = 300\,000\;\text{psi} = 300\,000 \times 144\;\frac{\text{lbf}}{\text{ft}^2} = 4,32\times10^{7}\;\frac{\text{lbf}}{\text{ft}^2}.
Compute o expoente:
\frac{\rho_{0}\,g\,H}{\beta} = \frac{62,4 \times 32,2 \times 30\,000}{4,32\times10^{7}} \approx 0{,}04333.
Então
u_H = 4,32\times10^{7}\Bigl(e^{0{,}04333}-1\Bigr) \approx 1{,}9138\times10^{6}\;\frac{\text{lbf}}{\text{ft}^2}.
A pressão absoluta a H é
P = P_{\text{atm}} + u_H = 14{,}7\;\text{psi} + \frac{1{,}9138\times10^{6}}{144}\;\text{psi} \approx 13\,303\;\text{psi}.

Passo 5

Por fim, a densidade a essa profundidade é
\rho(H) = \rho_{0}\exp\!\Bigl(\frac{\rho_{0}\,g\,H}{\beta}\Bigr) = 62{,}4 \times e^{0{,}04333} \approx 65{,}1\;\frac{\text{lbm}}{\text{ft}^3}.

Resposta

Pressão P \approx 13\,303 psi
Densidade \rho \approx 65{,}1 lbm/f t^{3}

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