A variância (
) de uma amostra com
observações de uma variável aleatória
pode ser calculada por meio de:
sendo
. Pede-se:
Seja
, em que
é uma constante qualquer. Utilize propriedades de somatório para mostrar que
.
Seja
Passo 1
O enunciado dá a fórmula da variância amostral de
:
onde
.
Definimos e queremos provar que
Definimos
Passo 2
Calculemos a média
de
.
Pela propriedade de somatório , temos
Pela propriedade de somatório
Passo 3
Escrevemos a variância amostral de
em função de
:
Passo 4
No termo dentro do somatório podemos fatorar
:
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Passo 5
Substituindo no somatório e usando que
é constante fora da soma, obtém-se