A variância ( S^{2} ) de uma amostra com n observações de uma variável aleatória X pode ser calculada por meio de:
S_{X}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}
sendo \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}. Pede-se:
Seja Y_{i}=k X_{i}, em que k é uma constante qualquer. Utilize propriedades de somatório para mostrar que S_{Y}^{2}=k^{2} S_{X}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula da variância amostral de X:
S_{X}^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(X_{i}-\bar X\bigr)^{2},
onde \bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}.
Definimos Y_{i}=k\,X_{i} e queremos provar que
S_{Y}^{2}=k^{2}S_{X}^{2}.

Passo 2

Calculemos a média \bar Y de Y_{1},\dots,Y_{n}.
Pela propriedade de somatório \sum_{i}k\,X_{i}=k\sum_{i}X_{i}, temos
\bar Y =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_{i} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}k\,X_{i} =k\;\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} =k\,\bar X.

Passo 3

Escrevemos a variância amostral de Y em função de X:
S_{Y}^{2} =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(Y_{i}-\bar Y\bigr)^{2} =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(k\,X_{i}-k\,\bar X\bigr)^{2}.

Passo 4

No termo dentro do somatório podemos fatorar k:
k\,X_{i}-k\,\bar X =k\bigl(X_{i}-\bar X\bigr),
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\bigl(k\,X_{i}-k\,\bar X\bigr)^{2} =\bigl(k\,(X_{i}-\bar X)\bigr)^{2} =k^{2}\,(X_{i}-\bar X)^{2}.

Passo 5

Substituindo no somatório e usando que k^{2} é constante fora da soma, obtém-se
S_{Y}^{2} =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}k^{2}\,(X_{i}-\bar X)^{2} =\;k^{2}\,\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar X)^{2} =k^{2}\,S_{X}^{2}.

Resposta

S_{Y}^{2}=k^{2}\,S_{X}^{2}.

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