As variáveis aleatórias X_{1}, X_{2} e X_{3} são independentes e identicamente distribuídas com densidade normal padrão. Considere as seguintes novas variáveis: W_{1}=X_{1}, W_{2}=\left(X_{1}+\right. \left.X_{2}\right) / 2 e W_{3}=\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}\right) / 3.
(a) Determine a densidade de W_{3};
(b) Obtenha a densidade conjunta de W_{1}, W_{2} e W_{3}.

Passo 1

O enunciado diz que X_{1},X_{2},X_{3} são i.i.d. \mathcal{N}(0,1). Definimos
W_{1}=X_{1},\quad W_{2}=\frac{X_{1}+X_{2}}{2},\quad W_{3}=\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}}{3}.
Precisamos achar (a) a densidade marginal de W_{3} e (b) a densidade conjunta de (W_{1},W_{2},W_{3}). O conteúdo principal é o fato de que combinações lineares de normais são normais e a fórmula da densidade multinormal via jacobiano.

Passo 2

Para W_{3}=(X_{1}+X_{2}+X_{3})/3, temos
\mathbb{E}(W_{3}) =\frac{\mathbb{E}(X_{1})+\mathbb{E}(X_{2})+\mathbb{E}(X_{3})}{3}=0,
e, por independência,
\mathrm{Var}(W_{3}) =\frac{\mathrm{Var}(X_{1})+\mathrm{Var}(X_{2})+\mathrm{Var}(X_{3})}{3^{2}} =\frac{1+1+1}{9}=\frac{1}{3}.

Passo 3

Como W_{3} é normal com média 0 e variância 1/3, sua densidade é
f_{W_{3}}(w_{3}) =\frac{1}{\sqrt{2\pi\,\frac{1}{3}}} \exp\Bigl(-\frac{w_{3}^{2}}{2\,(1/3)}\Bigr) =\sqrt{\frac{3}{2\pi}}\;\exp\Bigl(-\frac{3\,w_{3}^{2}}{2}\Bigr).

Passo 4

Para a densidade conjunta, note que
\mathbf{W}=(W_{1},W_{2},W_{3})^{T} =A\,(X_{1},X_{2},X_{3})^{T},
onde
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ \tfrac12 & \tfrac12 & 0\\\ \tfrac13 & \tfrac13 & \tfrac13 \end{pmatrix}.
Como (X_{1},X_{2},X_{3})\sim\mathcal{N}_{3}(0,I_{3}), segue \mathbf{W}\sim\mathcal{N}_{3}(0,\Sigma) com \Sigma=A\,A^{T}. A densidade é
f_{\mathbf{W}}(w) =\frac{1}{(2\pi)^{3/2}\,\sqrt{\det\Sigma}} \exp\Bigl(-\tfrac12\,w^{T}\,\Sigma^{-1}\,w\Bigr).

Passo 5

Calculamos
\det A=\frac{1}{6}\quad\Longrightarrow\quad\det\Sigma=(\det A)^{2}=\frac{1}{36}, \qquad \sqrt{\det\Sigma}=\frac{1}{6}.
E, explicitando \Sigma e \Sigma^{-1} via A\,A^{T} ou por covariâncias:
\Sigma =\begin{pmatrix} 1 & \tfrac12 & \tfrac13\\[6pt] \tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac13\\[6pt] \tfrac13 & \tfrac13 & \tfrac13 \end{pmatrix}, \quad \Sigma^{-1} =\begin{pmatrix} 2 & -2 & 0\\[3pt] -2 & 8 & -6\\[3pt] 0 & -6 & 9 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Substituindo em
f_{\mathbf{W}}(w) =\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\,\frac{1}{\sqrt{\det\Sigma}} \exp\Bigl(-\tfrac12\,w^{T}\Sigma^{-1}w\Bigr)
vem
f_{W_{1},W_{2},W_{3}}(w_{1},w_{2},w_{3}) =\frac{6}{(2\pi)^{3/2}} \exp\!\Bigl(-\tfrac12\,[\,w_{1},w_{2},w_{3}\,]\, \Sigma^{-1}\, \begin{bmatrix}w_{1}\w_{2}\w_{3}\end{bmatrix}\Bigr).

Resposta

(a)
f_{W_{3}}(w_{3}) =\sqrt{\frac{3}{2\pi}}\;\exp\Bigl(-\frac{3\,w_{3}^{2}}{2}\Bigr).
(b)
f_{W_{1},W_{2},W_{3}}(w_{1},w_{2},w_{3}) =\frac{6}{(2\pi)^{3/2}} \exp\!\Bigl(-\tfrac12\, [w_{1},w_{2},w_{3}]\, \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0\\\\ -2 & 8 & -6\\\\ 0 & -6 & 9 \end{pmatrix} \begin{bmatrix}w_{1}\w_{2}\w_{3}\end{bmatrix}\Bigr).

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