As variáveis aleatórias X_{1}, X_{2} e X_{3} são independentes e identicamente distribuídas com densidade normal padrão. Considere as seguintes novas variáveis: W_{1}=X_{1}, W_{2}=\left(X_{1}+\right. \left.X_{2}\right) / 2 e W_{3}=\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}\right) / 3.
(a) Determine a densidade de W_{3};
(b) Obtenha a densidade conjunta de W_{1}, W_{2} e W_{3}.
Passo 1
O enunciado diz que X_{1},X_{2},X_{3} são i.i.d. \mathcal{N}(0,1). Definimos
Precisamos achar (a) a densidade marginal de W_{3} e (b) a densidade conjunta de (W_{1},W_{2},W_{3}). O conteúdo principal é o fato de que combinações lineares de normais são normais e a fórmula da densidade multinormal via jacobiano.