Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias tais que ( X, Y ) deva pertencer ao retângulo contendo todos os pontos ( x, y ) para os quais 0 \leq x \leq 3 e 0 \leq y \leq 4. Suponha também que a distribuição acumulada conjunta de X e Y em qualquer ponto ( x, y ) no retângulo seja especificada por:
F(x, y)=\frac{1}{156} x y\left(x^{2}+y\right)
Determine:
(a) P(1 \leq X \leq 2 ; 1 \leq Y \leq 2) ;
(b) P(2 \leq X \leq 4 ; 2 \leq Y \leq 4);
(c) A distribuição marginal de Y;
(d) A densidade conjunta de X e Y;
(e) P(Y \leq X).
Passo 1
O enunciado nos dá uma função de distribuição acumulada conjunta F(x,y) para (X,Y) em [0,3]\times[0,4]:
F(x,y)=\frac{1}{156}\,x\,y\bigl(x^2+y\bigr).
Precisamos usar propriedades de distribuições: para qualquer retângulo [a,b]\times[c,d],
para obter probabilidades de intervalo; para marginais, usar F_Y(y)=P(Y\le y)=F(3,y) e depois derivar; para a densidade conjunta, derivar F em relação a x e y; e por fim, uma integral dupla sobre a região \{0\le y\le x\le3\} para P(Y\le X).