Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias tais que ( X, Y ) deva pertencer ao retângulo contendo todos os pontos ( x, y ) para os quais 0 \leq x \leq 3 e 0 \leq y \leq 4. Suponha também que a distribuição acumulada conjunta de X e Y em qualquer ponto ( x, y ) no retângulo seja especificada por:
F(x, y)=\frac{1}{156} x y\left(x^{2}+y\right)
Determine:
(a) P(1 \leq X \leq 2 ; 1 \leq Y \leq 2) ;
(b) P(2 \leq X \leq 4 ; 2 \leq Y \leq 4);
(c) A distribuição marginal de Y;
(d) A densidade conjunta de X e Y;
(e) P(Y \leq X).

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de distribuição acumulada conjunta F(x,y) para (X,Y) em [0,3]\times[0,4]:
F(x,y)=\frac{1}{156}\,x\,y\bigl(x^2+y\bigr).
Precisamos usar propriedades de distribuições: para qualquer retângulo [a,b]\times[c,d],
P\bigl(a\le X\le b,\;c\le Y\le d\bigr) =F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c),
para obter probabilidades de intervalo; para marginais, usar F_Y(y)=P(Y\le y)=F(3,y) e depois derivar; para a densidade conjunta, derivar F em relação a x e y; e por fim, uma integral dupla sobre a região \{0\le y\le x\le3\} para P(Y\le X).

Passo 2

Para (a), com a=1,b=2,c=1,d=2, aplicamos
P(1\le X\le2,\;1\le Y\le2) =F(2,2)-F(1,2)-F(2,1)+F(1,1).
Calculando cada termo:
F(2,2)=\frac{1}{156}\cdot2\cdot2\bigl(2^2+2\bigr) =\frac{4\cdot6}{156}=\frac{24}{156},
F(1,2)=\frac{1}{156}\cdot1\cdot2\bigl(1^2+2\bigr) =\frac{2\cdot3}{156}=\frac{6}{156},
F(2,1)=\frac{1}{156}\cdot2\cdot1\bigl(2^2+1\bigr) =\frac{2\cdot5}{156}=\frac{10}{156},
F(1,1)=\frac{1}{156}\cdot1\cdot1\bigl(1^2+1\bigr) =\frac{1\cdot2}{156}=\frac{2}{156}.
Logo
P(1\le X\le2,\;1\le Y\le2) =\frac{24-6-10+2}{156} =\frac{10}{156} =\frac{5}{78}.

Passo 3

Para (b), queremos P(2\le X\le4,\;2\le Y\le4), mas X só vai até 3, logo é 2\le X\le3. Usamos
P(2\le X\le3,\;2\le Y\le4) =F(3,4)-F(2,4)-F(3,2)+F(2,2).
Calculamos:
F(3,4)=\frac{1}{156}\cdot3\cdot4\bigl(3^2+4\bigr) =\frac{12\cdot13}{156}=\frac{156}{156}=1,
F(2,4)=\frac{1}{156}\cdot2\cdot4\bigl(2^2+4\bigr) =\frac{8\cdot8}{156}=\frac{64}{156},
F(3,2)=\frac{1}{156}\cdot3\cdot2\bigl(3^2+2\bigr) =\frac{6\cdot11}{156}=\frac{66}{156},
F(2,2)=\frac{24}{156}\quad(\text{já calculado}).á
Então
P(2\le X\le3,\;2\le Y\le4) =1-\frac{64}{156}-\frac{66}{156}+\frac{24}{156} =\frac{156-64-66+24}{156} =\frac{50}{156} =\frac{25}{78}.

Passo 4

Para (c), a distribuição acumulada marginal de Y é
F_Y(y)=P(Y\le y)=F(3,y) =\frac{1}{156}\cdot3\,y\bigl(3^2+y\bigr) =\frac{3y(9+y)}{156}.
Derivando em relação a y,
f_Y(y)=F_Y'(y) =\frac{1}{156}\bigl(3\,(9+y)+3y\cdot1\bigr) =\frac{27+6y}{156} =\frac{9+2y}{52},
para 0\le y\le4.

Passo 5

Para (d), a densidade conjunta é
f(x,y) =\frac{\partial^2}{\partial y\,\partial x}F(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl[\frac{1}{156}\bigl(3x^2y+y^2\bigr)\Bigr] =\frac{1}{156}\bigl(3x^2+2y\bigr),
para 0\le x\le3, 0\le y\le4.

Passo 6

Para (e),
P(Y\le X) =\iint_{0\le y\le x\le3}f(x,y)\,dy\,dx =\int_{0}^{3}\!\int_{0}^{x}\frac{3x^2+2y}{156}\,dy\,dx.
No interno,
\int_{0}^{x}(3x^2+2y)\,dy =3x^2\,y\bigm|_{0}^{x}+y^2\bigm|_{0}^{x} =3x^3+x^2.
Logo
P(Y\le X) =\frac{1}{156}\int_{0}^{3}(3x^3+x^2)\,dx =\frac{1}{156}\Bigl[\tfrac{3x^4}{4}+\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{3} =\frac{1}{156}\,\frac{279}{4} =\frac{279}{624} =\frac{93}{208}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{5}{78}.
(b) \displaystyle \frac{25}{78}.
(c) \displaystyle F_Y(y)=\frac{3y(9+y)}{156},\quad f_Y(y)=\frac{9+2y}{52}.
(d) \displaystyle f(x,y)=\frac{3x^2+2y}{156}.
(e) \displaystyle \frac{93}{208}.

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