Variáveis Complexas
Como se eleva um número complexo a uma potência n?

Passo 1

O enunciado pergunta como calcular \,z^n para um número complexo qualquer \,z e um inteiro positivo \,n. O conteúdo que vamos usar é a forma polar de um número complexo e o Teorema de Moivre.

Passo 2

Dado z = a + b\,i, primeiro achamos o módulo r e o argumento \theta:
r = \sqrt{a^2 + b^2},
\theta = \mathrm{Arg}(z) \quad\text{(por exemplo, }\theta = \arctan\!\tfrac{b}{a}\text{, ajustando o quadrante).}

Passo 3

Escrevemos z em forma polar usando as funções cosseno e seno:
z = r\bigl(\cos\theta + i\,\sin\theta\bigr).

Passo 4

Aplicamos o Teorema de Moivre, que diz que elevar à potência n equivale a elevar o módulo e multiplicar o argumento por n:
z^n = \bigl[r\bigl(\cos\theta + i\,\sin\theta\bigr)\bigr]^n = r^n\bigl(\cos(n\theta) + i\,\sin(n\theta)\bigr).

Resposta

\boxed{\,z^n = r^n\bigl(\cos(n\theta) + i\,\sin(n\theta)\bigr)\,,}
onde r = \lvert z\rvert e \theta = \mathrm{Arg}(z).

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