Repita o exercício 1 com
\mathrm{h}(\mathrm{n})
e
\mathrm{x}(\mathrm{n})
dados abaixo:
\mathrm{h}(\mathrm{n})=(1,2,4,3,2)(0)
x(n)=(1,-1,3,1,-2,1)

Passo 1

O enunciado pede para repetir o cálculo da convolução discreta entre as sequências \mathrm{h}(n) e \mathrm{x}(n), onde \mathrm{h}(n)=(1,2,4,3,2) para n=0,1,2,3,4 (zero fora desse intervalo) e \mathrm{x}(n)=(1,-1,3,1,-2,1) para n=0,1,2,3,4,5 (zero fora desse intervalo).
O conteúdo é a definição de convolução discreta
y(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathrm{h}(k)\,\mathrm{x}(n-k),
que, dado o suporte de \mathrm{h} e \mathrm{x}, se reduz a índices finitos.

Passo 2

Como \mathrm{h}(k)\neq0 somente para k=0,1,2,3,4 e \mathrm{x}(n-k)\neq0 para n-k=0,\dots,5, o somatório efetivo é
y(n)=\sum_{k=0}^{4}\mathrm{h}(k)\,\mathrm{x}(n-k).
O resultado y(n) será não nulo para n indo de 0+0=0 até 4+5=9.

Passo 3

Para 0\le n\le4 a sobreposição cresce e o índice k varia de 0 até n. Calculamos:
\begin{aligned} y(0)&=\mathrm{h}(0)\,\mathrm{x}(0)=1\cdot1=1,\\\ y(1)&=\mathrm{h}(0)\,\mathrm{x}(1)+\mathrm{h}(1)\,\mathrm{x}(0)=1\cdot(-1)+2\cdot1=1,\\\ y(2)&=1\cdot3+2\cdot(-1)+4\cdot1=5,\\\ y(3)&=1\cdot1+2\cdot3+4\cdot(-1)+3\cdot1=6,\\\ y(4)&=1\cdot(-2)+2\cdot1+4\cdot3+3\cdot(-1)+2\cdot1=11. \end{aligned}

Passo 4

Para n=5 ocorre sobreposição completa k=0 a 4:
y(5)=1\cdot1+2\cdot(-2)+4\cdot1+3\cdot3+2\cdot(-1)=8.

Passo 5

Para 6\le n\le9 a sobreposição decresce; o limite inferior de k é n-5 e o superior é 4. Calculamos:
\begin{aligned} y(6)&=2\cdot1+4\cdot(-2)+3\cdot1+2\cdot3=3,\\\ y(7)&=4\cdot1+3\cdot(-2)+2\cdot1=0,\\\ y(8)&=3\cdot1+2\cdot(-2)=-1,\\\ y(9)&=2\cdot1=2. \end{aligned}

Resposta

O sinal de saída y(n)=\mathrm{h}(n)*\mathrm{x}(n) é não nulo para 0\le n\le9 e vale
y(n) = (1,\,1,\,5,\,6,\,11,\,8,\,3,\,0,\,-1,\,2).

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