Variáveis Complexas
Com se tira a raiz n de um número complexo?

Passo 1

O problema pergunta como obter todas as raízes enésimas de um número complexo z. O conteúdo envolvido é a representação polar/exponencial de números complexos e o uso do Teorema de De Moivre. Para resolver, vamos:
  1. Escrever z em forma polar/exponencial;
  2. Impor que w^n = z e resolver para w.

Passo 2

Seja
z = x + i y.
Calculamos o módulo
r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}
e um argumento \theta tal que
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr) \quad\Longleftrightarrow\quad z = r\,e^{i\theta}.

Passo 3

Procuramos w tal que
w^n = z.
Escrevendo w em forma polar, w = \rho\,e^{i\varphi}, temos
(\rho\,e^{i\varphi})^n = \rho^n e^{i n\varphi} = r\,e^{i\theta}.
Isto implica duas condições:
\rho^n = r \quad\Longrightarrow\quad \rho = r^{1/n},
n\varphi = \theta + 2\pi k, \quad k\in\{0,1,\dots,n-1\} \quad\Longrightarrow\quad \phi_k = \frac{\theta + 2\pi k}{n}.

Passo 4

Portanto as n raízes de z são
w_k = r^{1/n} \bigl[\cos\bigl(\tfrac{\theta + 2\pi k}{n}\bigr) + i\sin\bigl(\tfrac{\theta + 2\pi k}{n}\bigr)\bigr], \quad k=0,1,\dots,n-1.

Resposta

As raízes enésimas de z são
w_k = r^{1/n}\Bigl(\cos\bigl(\tfrac{\theta + 2\pi k}{n}\bigr) + i\sin\bigl(\tfrac{\theta + 2\pi k}{n}\bigr)\Bigr), \quad k=0,1,\dots,n-1,
onde r=|z| e \theta=\arg z.

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