Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 0 e desvio padrão 1. Determine:
P(-0,32<X<0,45)

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória X segue uma distribuição normal padrão, ou seja:
X \sim \mathcal{N}(0,1).
O que se pede é a probabilidade:
P(-0,32 < X < 0,45).
Informações relevantes: média 0 e desvio padrão 1; os números de interesse são -0,32 e 0,45.

Passo 2

Explicando a ferramenta que vamos usar (aula rápida e prática).
  • A função densidade da normal padrão é
\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2},
mas em provas normalmente não se integra essa função diretamente — usa-se a função distribuição acumulada da normal padrão, que é
\Phi(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}\varphi(t)\,dt.
  • Regra prática: para quaisquer a<b,
P(a<X<b)=\Phi(b)-\Phi(a).
  • Propriedade de simetria (super útil): a densidade \varphi é simétrica em torno de 0, logo
\Phi(-z)=1-\Phi(z)\quad\text{para todo }z\ge0.
Isso permite transformar probabilidades com limites negativos usando tabelas de \Phi apenas para z\ge0.

Passo 3

Aplicando a fórmula direta:
P(-0,32<X<0,45)=\Phi(0,45)-\Phi(-0,32).

Passo 4

Usando a propriedade de simetria para \Phi(-0,32):
\Phi(-0,32)=1-\Phi(0,32).
Substituindo em cima:
P(-0,32<X<0,45)=\Phi(0,45)-\big(1-\Phi(0,32)\big)=\Phi(0,45)+\Phi(0,32)-1.

Passo 5

Agora precisamos dos valores de \Phi na tabela padrão. Peguei estes números na tabela da normal padrão:
\Phi(0,45)=0,6736,\qquad \Phi(0,32)=0,6255.

Passo 6

Calcular numericamente:
P(-0,32<X<0,45)=0,6736+0,6255-1=0,2991.
Em interpretação: a probabilidade pedida é aproximadamente 0,2991, ou seja cerca de 29{,}91\%.

Resposta

0,2991

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