Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 0 e desvio padrão 1. Determine:
P(1,34<X<2,67)

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de uma variável aleatória X seguir a normal padrão (média 0 e desvio padrão 1) assumir um valor entre 1,34 e 2,67. Ou seja, calcular
P(1,34 < X < 2,67).
Informações dadas:
  • X é normal padrão: média 0 e desvio padrão 1.
  • Os limites do intervalo são 1,34 e 2,67.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (aula rápida): a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão, denotada por \Phi(z), dá a probabilidade de que X seja menor ou igual a z:
\Phi(z)=P(X\le z).
Para qualquer a<b vale a identidade simples
P(a<X<b)=\Phi(b)-\Phi(a).
Aqui cada \Phi(\cdot) é a área sob a curva da densidade normal padrão à esquerda do ponto indicado.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
P(1,34<X<2,67)=\Phi(2,67)-\Phi(1,34).
Isso transforma o problema em buscar duas tabelas (ou uma calculadora) da normal padrão: \Phi(1,34) e \Phi(2,67).

Passo 4

Como X já é padrão, não precisamos padronizar nada (nenhuma transformação adicional). Vou buscar os valores da tabela da normal padrão (valores \Phi em tabelas z). Peguei esses números da tabela padrão da normal:
\Phi(1,34)=0,9099, \qquad \Phi(2,67)=0,9962.

Passo 5

Agora subtraímos as duas áreas para obter a probabilidade do intervalo:
P(1,34<X<2,67)=0,9962-0,9099.
Faço a conta passo a passo:
0,9962-0,9099=0,0863.
Interpretação intuitiva: cerca de 8{,}63\% da massa da distribuição padrão está entre 1,34 e 2,67 — é uma probabilidade pequena porque ambos os valores estão no lado direito (cauda) da normal.

Resposta

0,0863

Exercícios relacionados