Uma variável aleatória tem distribuição Normal e desvio padrão igual a 10. Uma amostra de 50 valores dessa variável forneceu média igual a 15,2. Para cada um dos testes abaixo, responda qual o nível descritivo:
H_{0}: \mu=18 ; H_{a}: \mu<18

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado):
  • Desvio padrão populacional \sigma = 10.
  • Tamanho da amostra n = 50.
  • Média amostral \bar X = 15,2.
  • Hipóteses: H_{0}: \mu = 18 e H_{a}: \mu < 18.
    O que se pede: o nível descritivo do teste (isto é, o p-valor) correspondente a essas hipóteses e aos dados fornecidos.

Passo 2

Qual teste usar e por quê — explicação didática:
  • Como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, o teste adequado é o teste-z para a média.
  • A ideia do teste-z é comparar a diferença entre a média observada \bar X e o valor hipotético \mu_0 em unidades do erro padrão da média. O erro padrão da média é a incerteza que a média amostral tem em torno da média verdadeira quando a amostra tem tamanho n.
  • Fórmula do erro padrão da média:
\text{erro padrão}=\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}},ã
onde \sigma é o desvio padrão populacional e \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra.

Passo 3

Calcular o erro padrão numericamente (passo a passo):
  • Primeiro obter \sqrt{n}=\sqrt{50}. Uma aproximação prática é \sqrt{50}\approx 7,071.
  • Então
\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{50}}\approx\frac{10}{7,071}\approx 1,4142.
Dica prática: \frac{10}{\sqrt{50}}=\sqrt{2}\approx 1,4142, porque 10/\sqrt{50}=10/(\sqrt{25\cdot2})=10/(5\sqrt{2})=2/\sqrt{2}=\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular a estatística de teste z (passo a passo):
  • A estatística z é dada por
z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma_{\bar X}},
onde \mu_0 é o valor sob H_{0}.
  • Substituindo os números:
z=\frac{15,2-18}{1,4142}=\frac{-2,8}{1,4142}\approx -1,98.
Interpretação rápida: o valor observado está cerca de 1,98 desvios-padrão abaixo do valor hipotético 18.

Passo 5

Calcular o nível descritivo ( p-valor) para o teste unilateral à esquerda:
  • Para um teste com H_a: \mu<\mu_0 o p-valor é a probabilidade de observar uma estatística tão pequena quanto a obtida ou menor, sob H_0. Em termos da normal padrão:
p = P(Z \le z_{\text{obs}}) = \Phi(z_{\text{obs}}),
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão.
  • Usando z_{\text{obs}}\approx -1,98 e a simetria da normal:
p=\Phi(-1,98)=1-\Phi(1,98).
  • Consultando tabela da normal padrão ou calculadora, \Phi(1,98)\approx 0,9761. Portanto
p\approx 1-0,9761=0,0239.
  • Conclusão interpretativa (curta): o nível descritivo é aproximadamente 0,0239. Isso significa que, sob H_0, a probabilidade de obter uma média tão baixa quanto a observada ou mais baixa é cerca de 2,39\%. Se o critério de rejeição for o nível de significância \alpha=0,05, rejeita-se H_0 (porque 0,0239<0,05); se \alpha=0,01, não se rejeita (porque 0,0239>0,01).

Resposta

0,0239

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