Uma variável aleatória tem distribuição Normal e desvio padrão igual a 10. Uma amostra de 50 valores dessa variável forneceu média igual a 15,2. Para cada um dos testes abaixo, responda qual o nível descritivo:
H_{0}: \mu=17 ; H_{a}: \mu<17

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
  • Valores fornecidos:
    • Desvio padrão da população: \sigma=10.
    • Tamanho da amostra: n=50.
    • Média amostral: \bar{x}=15,2.
    • Hipóteses: H_{0}:\mu=17\qquad H_{a}:\mu<17.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o nível descritivo (ou seja, o p-valor) do teste para as hipóteses acima, usando as informações dadas.

Passo 2

Explicação didática do método que vamos usar (sem jargões): como o desvio padrão da população \sigma é conhecido, usamos o teste-z (teste normal) para a média. A estatística de teste é a distância padronizada entre a média amostral e a média hipotética, medida em unidades do erro padrão da média.
A fórmula da estatística de teste é
Z=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média da amostra (aqui \bar{x}=15,2);
  • \mu_{0} é o valor hipotético sob H_{0} (aqui \mu_{0}=17);
  • \sigma é o desvio padrão da população (aqui \sigma=10);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=50);
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (a variabilidade esperada de \bar{x}).

Passo 3

Calcular o erro padrão da média passo a passo.
Primeiro calcular \sqrt{n}:
\sqrt{n}=\sqrt{50}\approx 7,0711.
Agora o erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{50}}=\frac{10}{7,0711\ldots}\approx 1,4142.
Explicação curta: o erro padrão fica menor quando n é maior; aqui com n=50 temos um erro padrão em torno de 1,414.

Passo 4

Calcular a estatística Z substituindo os números:
Z=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{15,2-17}{1,4142}=\frac{-1,8}{1,4142}\approx -1,2728.
Interpretação simples: \bar{x} está cerca de 1,27 desvios padrão abaixo do valor sob H_{0}.

Passo 5

O que é o “nível descritivo” (p-valor) neste contexto e como calculá-lo.
  • Para um teste unilateral à esquerda ( H_{a}:\mu<\mu_{0}), o p-valor é a probabilidade, sob H_{0}, de obter uma estatística Z tão pequena ou mais pequena que a observada. Em símbolos:
\text{p-valor} = P(Z \le z_{\text{obs}}),
onde z_{\text{obs}} é o valor calculado em \

Passo 6

  • Como Z segue a distribuição normal padrão sob H_{0}, usamos a tabela da normal padrão (ou calculadora) para encontrar essa probabilidade.

Passo 7

Calcular o p-valor usando a simetria da normal e tabela/valores conhecidos.
Temos z_{\text{obs}}\approx -1,2728. Pela simetria da normal:
P(Z \le -1,2728)=1-P(Z \le 1,2728)=1-\Phi(1,2728).
Consultando uma tabela da normal padrão ou uma calculadora, obtém-se aproximadamente \Phi(1,2728)\approx 0,8986. Portanto
\text{p-valor}\approx 1-0,8986=0,1014.
Resumo numérico: o nível descritivo do teste é aproximadamente 0,101 (ou 10{,}14\%).

Passo 8

Interpretação prática e conselho para a prova (curto e motivador).
  • Significado: o p-valor \approx 0,101 é a evidência contra H_{0}. É relativamente grande: por exemplo, se o exame pedir decisão ao nível \alpha=0,05, não rejeitaríamos H_{0} (pois 0,101>0,05).
  • Dica para a prova: calcule sempre o Z com a fórmula \displaystyle Z=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}} e depois leia o p-valor para o lado apropriado (à esquerda aqui). Respira fundo — você conseguiu! 😉

Resposta

p-valor \approx 0,1014

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