A variável aleatória X tem tem função de distribuição dada por:
F(x)=\left\{\begin{array}{rc} 0, & \text { se } x<-1 \\\\ 1 / 2, & \text { se }-1 \leq x<1 / 2 \\\\ 3 / 4, & \text { se } 1 / 2 \leq x<2 \\\\ 1, & \text { se } x \geq 2 \end{array}\right.
a) Classifique a variável X e obtenha a correspondente função de probabilidade ou função de densidade, conforme o caso.
b) Determine o valor P(X \geq-1) e P(X>-1).
Passo 1
O enunciado dá a função de distribuição F(x) da variável aleatória X:
Classificar a variável X e obter a correspondente função de probabilidade ou função de densidade.
Calcular P(X \ge -1) e P(X>-1).
Informações relevantes fornecidas: os valores de F(x) em cada intervalo, incluindo os valores à direita dos pontos -1, 1/2 e 2.
Passo 2
Conceito importante: a função de distribuição F(x)=P(X\le x) é sempre não decrescente e é contínua à direita. Se F tiver saltos (descontinuidades do tipo salto) em certos pontos, esses saltos correspondem a probabilidades pontuais desses valores. A regra prática é:
\text{Se houver salto em } x_0\text{, então }P(X=x_0)=F(x_0)-F(x_0^-),ã
onde F(x_0^-)=\lim_{t\to x_0^-}F(t) é o limite à esquerda em x_0.
Se F for contínua (sem saltos) e diferenciável, temos uma densidade f(x)=F'(x). Aqui, como vemos valores constantes em intervalos e saltos em pontos, já suspeitamos que X é discreta (ou seja, tem massa em pontos).
Passo 3
Identificar os pontos em que F tem salto. Observando F(x) fornecida:
Para x<-1, F(x)=0. Em x=-1 temos F(-1)=1/2. Então há um salto em x=-1.
Para -1\le x<1/2, F(x)=1/2. Em x=1/2 temos F(1/2)=3/4. Logo há um salto em x=1/2.
Para 1/2\le x<2, F(x)=3/4. Em x=2 temos F(2)=1. Logo há um salto em x=2.
Não há variação contínua de F dentro dos intervalos: F é constante nesses trechos e só muda em pontos isolados, o que confirma distribuição discreta com massa apenas nos pontos -1, 1/2 e 2.
Passo 4
Calcular a massa em x=-1 usando a fórmula do salto:
P(X=-1)=F(-1)-F(-1^-).
Aqui F(-1)=1/2 (valor dado) e F(-1^-)=\lim_{x\to-1^-}F(x)=0 (pois para x<-1F(x)=0). Portanto
Temos F(2)=1 e F(2^-)=\lim_{x\to 2^-}F(x)=3/4. Assim
P(X=2)=1-\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4}.
Passo 7
Concluir a classificação e escrever a função de probabilidade (pmf). Como toda a probabilidade está concentrada em pontos isolados -1\), \(1/2\) e \(2\), \(X\) é uma variável aleatória discreta com função de probabilidade
\[p_X(x)=\begin{cases} \tfrac{1}{2}, & x=-1,\\[4pt] \tfrac{1}{4}, & x=\tfrac{1}{2},\\[4pt] \tfrac{1}{4}, & x=2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}