A variável aleatória X tem tem função de distribuição dada por:
F(x)=\left\{\begin{array}{rc} 0, & \text { se } x<-1 \\\\ 1 / 2, & \text { se }-1 \leq x<1 / 2 \\\\ 3 / 4, & \text { se } 1 / 2 \leq x<2 \\\\ 1, & \text { se } x \geq 2 \end{array}\right.
a) Classifique a variável X e obtenha a correspondente função de probabilidade ou função de densidade, conforme o caso.
b) Determine o valor P(X \geq-1) e P(X>-1).

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição F(x) da variável aleatória X:
F(x)=\left\{\begin{array}{rc} 0, & \text{se } x<-1 \\\\ 1/2, & \text{se } -1 \le x < 1/2 \\\\ 3/4, & \text{se } 1/2 \le x < 2 \\\\ 1, & \text{se } x \ge 2 \end{array}\right.
As perguntas são:
  1. Classificar a variável X e obter a correspondente função de probabilidade ou função de densidade.
  2. Calcular P(X \ge -1) e P(X>-1).
Informações relevantes fornecidas: os valores de F(x) em cada intervalo, incluindo os valores à direita dos pontos -1, 1/2 e 2.

Passo 2

Conceito importante: a função de distribuição F(x)=P(X\le x) é sempre não decrescente e é contínua à direita. Se F tiver saltos (descontinuidades do tipo salto) em certos pontos, esses saltos correspondem a probabilidades pontuais desses valores. A regra prática é:
\text{Se houver salto em } x_0\text{, então }P(X=x_0)=F(x_0)-F(x_0^-),ã
onde F(x_0^-)=\lim_{t\to x_0^-}F(t) é o limite à esquerda em x_0.
Se F for contínua (sem saltos) e diferenciável, temos uma densidade f(x)=F'(x). Aqui, como vemos valores constantes em intervalos e saltos em pontos, já suspeitamos que X é discreta (ou seja, tem massa em pontos).

Passo 3

Identificar os pontos em que F tem salto. Observando F(x) fornecida:
  • Para x<-1, F(x)=0. Em x=-1 temos F(-1)=1/2. Então há um salto em x=-1.
  • Para -1\le x<1/2, F(x)=1/2. Em x=1/2 temos F(1/2)=3/4. Logo há um salto em x=1/2.
  • Para 1/2\le x<2, F(x)=3/4. Em x=2 temos F(2)=1. Logo há um salto em x=2.
    Não há variação contínua de F dentro dos intervalos: F é constante nesses trechos e só muda em pontos isolados, o que confirma distribuição discreta com massa apenas nos pontos -1, 1/2 e 2.

Passo 4

Calcular a massa em x=-1 usando a fórmula do salto:
P(X=-1)=F(-1)-F(-1^-).
Aqui F(-1)=1/2 (valor dado) e F(-1^-)=\lim_{x\to-1^-}F(x)=0 (pois para x<-1 F(x)=0). Portanto
P(X=-1)=\tfrac{1}{2}-0=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Calcular a massa em x=1/2:
P\bigl(X=\tfrac{1}{2}\bigr)=F\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)-F\bigl(\tfrac{1}{2}^-\bigr).
Aqui F(1/2)=3/4 e F(1/2^-)=\lim_{x\to(1/2)^-}F(x)=1/2. Logo
P\bigl(X=\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{3}{4}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.

Passo 6

Calcular a massa em x=2:
P(X=2)=F(2)-F(2^-).
Temos F(2)=1 e F(2^-)=\lim_{x\to 2^-}F(x)=3/4. Assim
P(X=2)=1-\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4}.

Passo 7

Concluir a classificação e escrever a função de probabilidade (pmf). Como toda a probabilidade está concentrada em pontos isolados -1\), \(1/2\) e \(2\), \(X\) é uma variável aleatória discreta com função de probabilidade \[p_X(x)=\begin{cases} \tfrac{1}{2}, & x=-1,\\[4pt] \tfrac{1}{4}, & x=\tfrac{1}{2},\\[4pt] \tfrac{1}{4}, & x=2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Verificação rápida: (\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=1], ok.]

Passo 8

Calcular P(X\ge -1) e P(X>-1) usando a pmf ou F.
Usando F:
  • P(X\ge -1)=1-P(X<-1)=1-F(-1^-).
    Aqui F(-1^-)=0. Portanto
P(X\ge -1)=1-0=1.
Intuição: todos os pontos de massa -1,\tfrac{1}{2},2 satisfazem X\ge-1, então a probabilidade é 1.
  • P(X>-1)=1-P(X\le -1)=1-F(-1).
    Aqui F(-1)=1/2. Então
P(X>-1)=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Ou, pela pmf, P(X>-1)=P(X=\tfrac{1}{2})+P(X=2)=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}.

Resposta

X é discreta com
p_X(x)=\begin{cases} \tfrac{1}{2}, & x=-1,\\[4pt] \tfrac{1}{4}, & x=\tfrac{1}{2},\\[4pt] \tfrac{1}{4}, & x=2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
P(X\ge -1)=1
P(X>-1)=\tfrac{1}{2}]

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