Obtenha o valor da constante c>0, de modo que a função abaixo:
p(x)=c(x-2)^{2}, x=3,4,5 \text { e } 6
Seja a função de probabilidade de alguma variável aleatória discreta.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a constante c>0 de modo que a função
p(x)=c(x-2)^{2},\quad x=3,4,5\text{ e }6
seja uma função de probabilidade de uma variável aleatória discreta.
Informações dadas:
p(3)=c(3-2)^2,\quad p(4)=c(4-2)^2,\quad p(5)=c(5-2)^2,\quad p(6)=c(6-2)^2,
e c>0.
Pergunta explícita: qual é o valor de c que torna p(x) uma função de probabilidade?

Passo 2

Relembrando (de forma simples e direta) o que significa ser uma função de probabilidade para uma variável aleatória discreta:
  1. Cada probabilidade deve ser não negativa: p(x)\ge0 para todo x do suporte.
  2. A soma das probabilidades sobre todos os valores possíveis deve ser 1:
\sum_{\text{todos }x} p(x)=1.
Aqui o suporte é \{3,4,5,6\}. Sobre a não negatividade: como (x-2)^2\ge0 para todo x e c>0 (dado), automaticamente p(x)\ge0. Logo, a condição relevante que usamos para achar c é a normalização pela soma igual a 1. Esta é a equação que vai determinar c.

Passo 3

Escrever a condição de normalização para os quatro pontos do suporte:
\sum_{x\in\{3,4,5,6\}} p(x)=1.
Substituindo p(x)=c(x-2)^2 obtemos
c\sum_{x\in\{3,4,5,6\}}(x-2)^2=1.
Aqui eu só fatorizei c porque é comum a todos os termos; passo seguinte é calcular a soma de (x-2)^2.

Passo 4

Calcular cada termo (x-2)^2 para x=3,4,5,6:
(3-2)^2=1,
(4-2)^2=4,
(5-2)^2=9,
(6-2)^2=16.
Somando passo a passo:
1+4=5,
5+9=14,
14+16=30.
Portanto
\sum_{x\in\{3,4,5,6\}}(x-2)^2=30.

Passo 5

Voltar à equação de normalização e substituir a soma:
c\cdot 30=1.
Isolando c,
c=\frac{1}{30}.

Passo 6

Verificação rápida (útil para a prova): calcular as probabilidades individuais com c=\frac{1}{30} e confirmar que somam 1:
p(3)=\frac{1}{30}\cdot 1=\frac{1}{30},
p(4)=\frac{1}{30}\cdot 4=\frac{4}{30},
p(5)=\frac{1}{30}\cdot 9=\frac{9}{30},
p(6)=\frac{1}{30}\cdot 16=\frac{16}{30}.
Somando:
\frac{1+4+9+16}{30}=\frac{30}{30}=1.
Como esperado, está normalizado e todas as probabilidades são não negativas (pois \frac{1}{30}>0). Então c=\frac{1}{30} é a constante correta.

Resposta

\dfrac{1}{30}

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