Obtenha o valor da constante
, de modo que a função abaixo:
Seja a função de probabilidade de alguma variável aleatória discreta.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a constante
de modo que a função
seja uma função de probabilidade de uma variável aleatória discreta.
Informações dadas:
Informações dadas:
e
.
Pergunta explícita: qual é o valor de que torna
uma função de probabilidade?
Pergunta explícita: qual é o valor de
Passo 2
Relembrando (de forma simples e direta) o que significa ser uma função de probabilidade para uma variável aleatória discreta:
- Cada probabilidade deve ser não negativa:
para todo do suporte. - A soma das probabilidades sobre todos os valores possíveis deve ser 1:
Aqui o suporte é
. Sobre a não negatividade: como
para todo
e
(dado), automaticamente
. Logo, a condição relevante que usamos para achar
é a normalização pela soma igual a 1. Esta é a equação que vai determinar
.
Passo 3
Escrever a condição de normalização para os quatro pontos do suporte:
Substituindo
obtemos
Aqui eu só fatorizei
porque é comum a todos os termos; passo seguinte é calcular a soma de
.
Passo 4
Calcular cada termo
para
:
Somando passo a passo:
Portanto
Passo 5
Voltar à equação de normalização e substituir a soma:
Isolando
,
Passo 6
Verificação rápida (útil para a prova): calcular as probabilidades individuais com
e confirmar que somam 1:
Somando:
Como esperado, está normalizado e todas as probabilidades são não negativas (pois
). Então
é a constante correta.