Para \r \vec{r}(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right)\r, calcule \r \vec{T}(t)\r e \r \vec{N}(t)\r nos pontos em que \r t \neq 0\r.

Passo 1

O enunciado dá a curva
\vec r(t)=\bigl(t,\;t^2,\;t^3\bigr)
e pede os vetores unitários tangente \vec T(t) e normal \vec N(t) para t\neq0.
Vamos usar as definições
\vec T(t)=\frac{\vec r\,'(t)}{\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|}, \quad \vec N(t)=\frac{\vec T\,'(t)}{\bigl\|\vec T\,'(t)\bigr\|}.

Passo 2

Calcular \vec r\,'(t) e sua norma:
\vec r\,'(t)=\bigl(1,\;2t,\;3t^2\bigr),
\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\| =\sqrt{1+(2t)^2+(3t^2)^2} =\sqrt{1+4t^2+9t^4}.
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\vec T(t) =\frac{\bigl(1,\,2t,\,3t^2\bigr)}{\sqrt{1+4t^2+9t^4}}.

Passo 3

Para \vec N(t) precisamos de \vec T\,'(t). Use
\vec T(t)=\frac{\vec v(t)}{s(t)}, \quad \vec v(t)=\bigl(1,2t,3t^2\bigr), \quad s(t)=\|\vec v(t)\|=\sqrt{1+4t^2+9t^4}.
Então
\vec T\,'(t) =\frac{\vec v\,'(t)\,s(t)-\vec v(t)\,s'(t)}{s(t)^2},
com \vec v\,'(t)=(0,2,6t) e
s'(t)=\frac{\vec v(t)\cdot\vec v\,'(t)}{s(t)} =\frac{4t+18t^3}{\sqrt{1+4t^2+9t^4}}.
Fazendo as contas, obtém-se
\vec T\,'(t) =\frac{1}{\bigl(1+4t^2+9t^4\bigr)^{3/2}} \bigl(\,-2t(2+9t^2),\;2(1-9t^4),\;6t(1+2t^2)\bigr).

Passo 4

Finalmente
\vec N(t) =\frac{\vec T\,'(t)}{\|\vec T\,'(t)\|} =\frac{\bigl(-2t(2+9t^2),\;2(1-9t^4),\;6t(1+2t^2)\bigr)} {\sqrt{4+52t^2+216t^4+468t^6+324t^8}}\,.

Resposta

\displaystyle \vec T(t)=\frac{\bigl(1,\,2t,\,3t^2\bigr)}{\sqrt{1+4t^2+9t^4}}, \displaystyle \vec N(t)=\frac{\bigl(-2t(2+9t^2),\;2(1-9t^4),\;6t(1+2t^2)\bigr)}{\sqrt{4+52t^2+216t^4+468t^6+324t^8}}.

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