Determine os vetores do triedro de Frenet para \r \vec{r}(t)=(a \cos t, a \sin t, b t)\r, onde \r a, b>0\r.

Passo 1

O enunciado dá a curva \vec r(t) = \bigl(a\cos t,\;a\sin t,\;b\,t\bigr)
com a,b>0 e pede o triedro de Frenet, isto é, os vetores unitários tangente \mathbf T, normal principal \mathbf N e binormal \mathbf B.
Para isso precisamos calcular \vec r'(t), \vec r''(t), depois
  1. \mathbf T = \dfrac{\vec r'}{\|\vec r'\|},
  2. \mathbf N = \dfrac{\mathbf T'}{\|\mathbf T'\|},
  3. \mathbf B = \mathbf T\times \mathbf N.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira e seu módulo:
\vec r'(t) = \bigl(-a\sin t,\;a\cos t,\;b\bigr),
\|\vec r'(t)\| = \sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2 + b^2} = \sqrt{a^2(\sin^2 t+\cos^2 t) + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2}.
Logo o vetor tangente unitário é
\mathbf T(t) = \frac{\vec r'(t)}{\|\vec r'(t)\|} = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}}\bigl(-a\sin t,\;a\cos t,\;b\bigr).

Passo 3

Agora calculemos \vec r''(t) e o vetor normal:
\vec r''(t) = \bigl(-a\cos t,\;-a\sin t,\;0\bigr).
Como \|\vec r'\| é constante, \mathbf T'(t) = \vec r''(t)/\|\vec r'\|.
O módulo de \vec r''(t) é \|\vec r''(t)\| = \sqrt{(-a\cos t)^2+(-a\sin t)^2} = a.
Portanto o vetor normal principal fica
\mathbf N(t) = \frac{\mathbf T'(t)}{\|\mathbf T'(t)\|} = \frac{\displaystyle \frac{\vec r''(t)}{\sqrt{a^2+b^2}}}{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}} = \frac{\vec r''(t)}{a} = \bigl(-\cos t,\;- \sin t,\;0\bigr).

Passo 4

Por fim, o binormal é o produto vetorial
\mathbf B(t) = \mathbf T(t)\times \mathbf N(t).
Fazendo o determinante, obtém-se
\mathbf B(t) = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} \bigl(b\sin t,\;-b\cos t,\;a\bigr).
Verifica-se que \|\mathbf B\|=1, confirmando ser unitário.

Resposta

\displaystyle \mathbf T(t)=\frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}}\bigl(-a\sin t,\;a\cos t,\;b\bigr) \displaystyle \mathbf N(t)=\bigl(-\cos t,\;- \sin t,\;0\bigr) \displaystyle \mathbf B(t)=\frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}}\bigl(b\sin t,\;-b\cos t,\;a\bigr)

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