Se
for o vetor que vai desde a origem ao ponto (
).
a) Demonstre as fórmulas
e
b) Existe uma função escalar
tal que
? Caso afirmativo encontre essa função.
a) Demonstre as fórmulas
b) Existe uma função escalar
Passo 1
O enunciado dá o vetor posição
que vai da origem ao ponto
. As perguntas são:
- (a) Demonstrar as fórmulas
, e . - (b) Verificar se existe uma função escalar
tal que e, em caso afirmativo, encontrá‑la.
Informações relevantes fornecidas (que vamos usar):
-
tem componentes . - O operador nabla é
. -
é um vetor com componentes (podendo depender ou não de ; a demonstração abaixo não precisa assumir que é constante).
Passo 2
Definir e calcular a divergência
.
Lembrete didático rápido: a divergência de um campo vetorial
é a soma das derivadas parciais das componentes:
Aqui
,
,
são funções de
.
Aplicando isso a
, as componentes são
,
,
. As derivadas parciais simples são:
Portanto,
Comentário intuitivo: a divergência mede “saída” local do campo; o campo posição tem saída unitária em cada direção, somando 3.
Passo 3
Definir e calcular o rotacional
.
Lembrete didático: o rotacional de
tem componentes
Aplicando a
(com
), calcule cada componente:
Componente
:
Componente
:
Componente
:
Assim,
Intuição: o campo posição não “gira” ao redor de um ponto; é puramente radial e seu rotacional é nulo.
Passo 4
Demonstrar
.
Explicação do operador:
é um operador diferencial direcional que combina as componentes de
com derivadas parciais:
Esse operador atua componente a componente quando aplicado a um campo vetorial.
Aplique-o ao vetor
componente a componente:
Vamos calcular cada componente resultante:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Juntando:
Observação importante: essa identidade vale ponto a ponto mesmo quando as componentes
dependem de
, porque nessas expressões as componentes de
aparecem multiplicando derivadas de
que retornam constantes
ou
; não houve diferenciação de
neste cálculo.
Uma maneira matricial/concisa: a matriz jacobiana de
em relação a
é a matriz identidade
, então
corresponde a
.
Passo 5
Existência de
tal que
e construção de
por integração.
Teoria rápida e prática: um campo vetorial
é gradiente de alguma função escalar (tem potencial) se e somente se
em um domínio simplesmente conexo (e o campo for suficientemente suave). No Passo 3 mostramos que
. O domínio natural aqui é
, que é simplesmente conexo, portanto existe uma função potencial
com
.
Agora encontrar
explicitamente: escrever as condições componentes
Integre a primeira equação em relação a
:
onde
é uma “constante de integração” que pode depender de
.
Agora use a segunda condição: calcule
a partir da expressão acima:
Pelo requisito
segue
Integre em
:
onde
é agora função só de
.
Use a terceira condição: calcule
:
Pelo requisito
segue
Integre em
:
onde
é constante absoluta.
Portanto, juntando tudo:
Verificação rápida: calcular
retorna
, como exigido.