Se \vec{r} for o vetor que vai desde a origem ao ponto ( \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} ).
a) Demonstre as fórmulas \vec{\nabla} \cdot \vec{r}=3 ; \vec{\nabla} \times \vec{r}=0 e (\vec{u} \cdot \vec{\nabla}) \vec{r}=\vec{u}
b) Existe uma função escalar \varphi tal que \vec{\nabla} \varphi=\vec{r} ? Caso afirmativo encontre essa função.

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição \vec{r} que vai da origem ao ponto (x,y,z). As perguntas são:
  • (a) Demonstrar as fórmulas \vec{\nabla}\cdot\vec{r}=3, \vec{\nabla}\times\vec{r}=0 e (\vec{u}\cdot\vec{\nabla})\vec{r}=\vec{u}.
  • (b) Verificar se existe uma função escalar \varphi tal que \vec{\nabla}\varphi=\vec{r} e, em caso afirmativo, encontrá‑la.
Informações relevantes fornecidas (que vamos usar):
  • \vec{r} tem componentes \vec{r}=x\,\hat{i}+y\,\hat{j}+z\,\hat{k}.
  • O operador nabla é \vec{\nabla}=\hat{i}\,\dfrac{\partial}{\partial x}+\hat{j}\,\dfrac{\partial}{\partial y}+\hat{k}\,\dfrac{\partial}{\partial z}.
  • \vec{u} é um vetor com componentes \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) (podendo depender ou não de (x,y,z); a demonstração abaixo não precisa assumir que é constante).

Passo 2

Definir e calcular a divergência \vec{\nabla}\cdot\vec{r}.
Lembrete didático rápido: a divergência de um campo vetorial \vec{F}=F_x\hat{i}+F_y\hat{j}+F_z\hat{k} é a soma das derivadas parciais das componentes:
\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Aqui F_x, F_y, F_z são funções de (x,y,z).
Aplicando isso a \vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}, as componentes são F_x=x, F_y=y, F_z=z. As derivadas parciais simples são:
\frac{\partial x}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial y}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial z}{\partial z}=1.
Portanto,
\vec{\nabla}\cdot\vec{r}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=1+1+1=3.
Comentário intuitivo: a divergência mede “saída” local do campo; o campo posição tem saída unitária em cada direção, somando 3.

Passo 3

Definir e calcular o rotacional \vec{\nabla}\times\vec{r}.
Lembrete didático: o rotacional de \vec{F}=F_x\hat{i}+F_y\hat{j}+F_z\hat{k} tem componentes
\vec{\nabla}\times\vec{F}=\Big(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\Big)\hat{i}+\Big(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\Big)\hat{j}+\Big(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\Big)\hat{k}.
Aplicando a \vec{r} (com F_x=x,\;F_y=y,\;F_z=z), calcule cada componente:
Componente \hat{i}:
\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{\partial z}{\partial y}-\frac{\partial y}{\partial z}=0-0=0.
Componente \hat{j}:
\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial z}-\frac{\partial z}{\partial x}=0-0=0.
Componente \hat{k}:
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial y}{\partial x}-\frac{\partial x}{\partial y}=0-0=0.
Assim,
\vec{\nabla}\times\vec{r}=0\hat{i}+0\hat{j}+0\hat{k}=\vec{0}.
Intuição: o campo posição não “gira” ao redor de um ponto; é puramente radial e seu rotacional é nulo.

Passo 4

Demonstrar (\vec{u}\cdot\vec{\nabla})\vec{r}=\vec{u}.
Explicação do operador: (\vec{u}\cdot\vec{\nabla}) é um operador diferencial direcional que combina as componentes de \vec{u} com derivadas parciais:
(\vec{u}\cdot\vec{\nabla}) = u_x\frac{\partial}{\partial x}+u_y\frac{\partial}{\partial y}+u_z\frac{\partial}{\partial z}.
Esse operador atua componente a componente quando aplicado a um campo vetorial.
Aplique-o ao vetor \vec{r}=(x,y,z) componente a componente:
(\vec{u}\cdot\vec{\nabla})\vec{r} = \bigg(u_x\frac{\partial}{\partial x}+u_y\frac{\partial}{\partial y}+u_z\frac{\partial}{\partial z}\bigg)(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}).
Vamos calcular cada componente resultante:
  • Componente \hat{i}:
u_x\frac{\partial x}{\partial x}+u_y\frac{\partial x}{\partial y}+u_z\frac{\partial x}{\partial z} = u_x\cdot 1 + u_y\cdot 0 + u_z\cdot 0 = u_x.
  • Componente \hat{j}:
u_x\frac{\partial y}{\partial x}+u_y\frac{\partial y}{\partial y}+u_z\frac{\partial y}{\partial z} = 0 + u_y\cdot 1 + 0 = u_y.
  • Componente \hat{k}:
u_x\frac{\partial z}{\partial x}+u_y\frac{\partial z}{\partial y}+u_z\frac{\partial z}{\partial z} = 0 + 0 + u_z\cdot 1 = u_z.
Juntando:
(\vec{u}\cdot\vec{\nabla})\vec{r}=u_x\hat{i}+u_y\hat{j}+u_z\hat{k}=\vec{u}.
Observação importante: essa identidade vale ponto a ponto mesmo quando as componentes u_x,u_y,u_z dependem de (x,y,z), porque nessas expressões as componentes de \vec{u} aparecem multiplicando derivadas de x,y,z que retornam constantes 0 ou 1; não houve diferenciação de \vec{u} neste cálculo.
Uma maneira matricial/concisa: a matriz jacobiana de \vec{r} em relação a (x,y,z) é a matriz identidade I, então (\vec{u}\cdot\vec{\nabla})\vec{r} corresponde a I\vec{u}=\vec{u}.

Passo 5

Existência de \varphi tal que \vec{\nabla}\varphi=\vec{r} e construção de \varphi por integração.
Teoria rápida e prática: um campo vetorial \vec{F} é gradiente de alguma função escalar (tem potencial) se e somente se \vec{\nabla}\times\vec{F}=0 em um domínio simplesmente conexo (e o campo for suficientemente suave). No Passo 3 mostramos que \vec{\nabla}\times\vec{r}=\vec{0}. O domínio natural aqui é \mathbb{R}^3, que é simplesmente conexo, portanto existe uma função potencial \varphi com \vec{\nabla}\varphi=\vec{r}.
Agora encontrar \varphi explicitamente: escrever as condições componentes
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=x,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=y,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=z.
Integre a primeira equação em relação a x:
\varphi(x,y,z)=\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante de integração” que pode depender de y,z.
Agora use a segunda condição: calcule \partial\varphi/\partial y a partir da expressão acima:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{x^2}{2}+g(y,z)\Big)=\frac{\partial g}{\partial y}(y,z).
Pelo requisito \partial\varphi/\partial y=y segue
\frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=y.
Integre em y:
g(y,z)=\int y\,dy=\frac{y^2}{2}+h(z),
onde h(z) é agora função só de z.
Use a terceira condição: calcule \partial\varphi/\partial z:
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\Big(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+h(z)\Big)=h'(z).
Pelo requisito \partial\varphi/\partial z=z segue
h'(z)=z.
Integre em z:
h(z)=\int z\,dz=\frac{z^2}{2}+C,
onde C é constante absoluta.
Portanto, juntando tudo:
\varphi(x,y,z)=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+C=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+C.
Verificação rápida: calcular \vec{\nabla}\varphi retorna (x,y,z)=\vec{r}, como exigido.

Resposta

\vec{\nabla}\cdot\vec{r}=3,\quad \vec{\nabla}\times\vec{r}=\vec{0},\quad (\vec{u}\cdot\vec{\nabla})\vec{r}=\vec{u}
\displaystyle \varphi(x,y,z)=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}+C, com C constante.

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